Thi sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6. Câu 1. [GQ 2.1] int _(1)^2(3x^2+sqrt (x))dx=(a+bsqrt (2))/(3) với a,b là các số nguyên. Giá trị của a+b bằng? 7

Để giải quyết integral này, chúng ta cần tính tích phân xác định của hàm số \(3x^2 + \sqrt{x}\) từ 1 đến 2. <br /><br />1. Tính tích phân của \(3x^2\):<br />\[<br />\int 3x^2 \, dx = x^3<br />\]<br /><br />2. Tính tích phân của \(\sqrt{x}\):<br />\[<br />\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2}<br />\]<br /><br />Vậy, hàm số cần tích phân là:<br />\[<br />\int (3x^2 + \sqrt{x}) \, dx = x^3 + \frac{2}{3} x^{3/2}<br />\]<br /><br />3. Áp dụng giới hạn tích phân từ 1 đến 2:<br />\[<br />\left[ x^3 + \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{1}^{2}<br />\]<br /><br />4. Thay giá trị của \(x\) bằng 2 và 1:<br />\[<br />\left( 2^3 + \frac{2}{3} \cdot 2^{3/2} \right) - \left( 1^3 + \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} \right)<br />\]<br /><br />Tính toán từng phần:<br />\[<br />2^3 = 8<br />\]<br />\[<br />2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}<br />\]<br />\[<br />\frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}<br />\]<br />\[<br />1^3 = 1<br />\]<br />\[<br />1^{3/2} = 1<br />\]<br />\[<br />\frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}<br />\]<br /><br />Kết hợp lại:<br />\[<br />\left( 8 + \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) - \left( 1 + \frac{2}{3} \right)<br />\]<br /><br />Đơn giản hóa:<br />\[<br />8 + \frac{4\sqrt{2}}{3} - 1 - \frac{2}{3} = 7 + \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3} = 7 + \frac{2\sqrt{2}}{3}<br />\]<br /><br />So sánh với dạng \(\frac{a + b\sqrt{2}}{3}\):<br />\[<br />7 + \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3 \cdot 7 + 2\sqrt{2}}{3} = \frac{21 + 2\sqrt{2}}{3}<br />\]<br /><br />Do đó, \(a = 21\) và \(b = 2\). Tổng \(a + b = 21 + 2 = 23\).<br /><br />Vậy, giá trị của \(a + b\) là 23.