Câu 8[ID:1153] Tính các đạo hàm riêng z_(x)',z_(y)' của hàm z(x,y)=int _(xy)^(x)/(y)t^2sin2tdt

## Giải bài toán:<br /><br />**1. Áp dụng công thức đạo hàm của tích phân:**<br /><br />Ta có công thức đạo hàm của tích phân:<br /><br />$$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t,x) dt = f(b(x),x) \cdot b'(x) - f(a(x),x) \cdot a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f(t,x)}{\partial x} dt$$<br /><br />**2. Áp dụng công thức vào bài toán:**<br /><br />* **Tính $z_x'$:**<br /><br /> * $f(t,x) = t^2 \sin 2t$<br /> * $a(x) = xy$<br /> * $b(x) = \frac{x}{y}$<br /><br /> Áp dụng công thức, ta có:<br /><br /> $$z_x' = \left(\frac{x}{y}\right)^2 \sin \left(2 \cdot \frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} - (xy)^2 \sin (2xy) \cdot y + \int_{xy}^{\frac{x}{y}} 0 dt$$<br /><br /> $$z_x' = \frac{x^2}{y^3} \sin \left(\frac{2x}{y}\right) - x^3y^3 \sin (2xy)$$<br /><br />* **Tính $z_y'$:**<br /><br /> * $f(t,y) = t^2 \sin 2t$<br /> * $a(y) = xy$<br /> * $b(y) = \frac{x}{y}$<br /><br /> Áp dụng công thức, ta có:<br /><br /> $$z_y' = \left(\frac{x}{y}\right)^2 \sin \left(2 \cdot \frac{x}{y}\right) \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) - (xy)^2 \sin (2xy) \cdot x + \int_{xy}^{\frac{x}{y}} 0 dt$$<br /><br /> $$z_y' = -\frac{x^3}{y^4} \sin \left(\frac{2x}{y}\right) - x^3y^3 \sin (2xy)$$<br /><br />**Kết luận:**<br /><br />* $z_x' = \frac{x^2}{y^3} \sin \left(\frac{2x}{y}\right) - x^3y^3 \sin (2xy)$<br />* $z_y' = -\frac{x^3}{y^4} \sin \left(\frac{2x}{y}\right) - x^3y^3 \sin (2xy)$<br />