Bài 3(2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AD. Vẽ tia phân giác của hat (ADB) cắt AB tại M, tia phân giác của hat (ADC) cắt AC tại N.. Chứng minh rằng: a) (AM)/(MB)=(AN)/(NC) b) MN//BC c) Giả sử MN=5cm . Tính BC

a) Để chứng minh $\frac {AM}{MB}=\frac {AN}{NC}$, ta sử dụng tính chất của tia phân giác:<br />- Tia phân giác của góc $\hat{ADB}$ chia góc $\hat{ADB}$ thành hai góc bằng nhau.<br />- Tia phân giác của góc $\hat{ADC}$ chia góc $\hat{ADC}$ thành hai góc bằng nhau.<br />Từ đó, ta có:<br />$\frac{\hat{AMB}}{\hat{BMD}} = \frac{\hat{ANC}}{\hat{CND}} = 1$<br />Áp dụng định lý Thales, ta có:<br />$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$<br /><br />b) Để chứng minh $MN//BC$, ta sử dụng tính chất của tia phân giác:<br />- Tia phân giác của góc $\hat{ADB}$ chia góc $\hat{ADB}$ thành hai góc bằng nhau.<br />- Tia phân giác của góc $\hat{ADC}$ chia góc $\hat{ADC}$ thành hai góc bằng nhau.<br />Từ đó, ta có:<br />$\hat{AMB} = \hat{BMD}$ và $\hat{ANC} = \hat{CND}$<br />Vì tam giác ABC vuông tại A, nên $\hat{BAC} = 90^\circ$. Khi đó, $\hat{BMD} + \hat{CND} = 90^\circ$, nghĩa là $MN//BC$.<br /><br />c) Giả sử $MN=5cm$, ta cần tính BC.<br />Từ tính chất b), ta có $MN//BC$. Vì vậy, tam giác $\triangle MBC$ là tam giác vuông cân tại M.<br />Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:<br />$BC^2 = MB^2 + MC^2$<br />Từ tính chất a), ta có $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$. Vì vậy, $\frac{AM}{MB} = \frac{5}{BC-5}$<br />Giải phương trình này, ta tìm được $BC = 10cm$.