Cau 33: Kiến trúc sư cần thiết kế hai cánh cửa trang trí của một trung tâm thương mại Xét trên hệ trục tọa độ Oxyz , hai cánh cửa lần lượt nǎm trong hai mặt phẳng (P),(Q) qua trục cố định là đường thẳng Delta di qua hai điểm A(1;1;0),B(2;1;2) . Hai cánh cửa thay đối quay quanh trục Delta , vuông góc với nhau và luôn cắt đường thẳng CD , (với C(0;2;3) D(-2;1;4)) lần lượt tại hai điểm M,N .Độ dài MN ngắn nhất là (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trǎm). Đáp án là: square .

**1. Tìm phương trình đường thẳng Δ:**<br /><br />Đường thẳng Δ đi qua A(1,1,0) và B(2,1,2). Vecto chỉ phương của Δ là $\vec{AB} = (2-1, 1-1, 2-0) = (1, 0, 2)$.<br /><br />Phương trình tham số của Δ là:<br /><br />x = 1 + t<br />y = 1<br />z = 2t<br /><br />**2. Tìm phương trình mặt phẳng (P) và (Q):**<br /><br />Vì (P) và (Q) vuông góc với nhau và chứa Δ, ta có thể tìm được vecto pháp tuyến của chúng. Gọi $\vec{n_P}$ và $\vec{n_Q}$ là vecto pháp tuyến của (P) và (Q) tương ứng. Vì (P) và (Q) chứa Δ, nên $\vec{n_P}$ và $\vec{n_Q}$ vuông góc với $\vec{AB} = (1, 0, 2)$. Hơn nữa, $\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 0$ vì (P) và (Q) vuông góc nhau.<br /><br />Ta có thể chọn $\vec{n_P} = (2, 0, -1)$ và $\vec{n_Q} = (0, 1, 0)$. (Có nhiều lựa chọn khác, nhưng đây là một lựa chọn đơn giản).<br /><br />Phương trình mặt phẳng (P): 2(x-1) - z = 0 => 2x - z -2 = 0<br />Phương trình mặt phẳng (Q): y - 1 = 0<br /><br />**3. Tìm tọa độ M và N:**<br /><br />Mặt phẳng (P) cắt CD tại M, mặt phẳng (Q) cắt CD tại N. Vecto chỉ phương của CD là $\vec{CD} = (-2-0, 1-2, 4-3) = (-2, -1, 1)$.<br /><br />Phương trình tham số của CD:<br />x = -2s<br />y = 2 - s<br />z = 3 + s<br /><br />Để tìm M, ta thay phương trình tham số của CD vào phương trình của (P):<br />2(-2s) - (3+s) - 2 = 0<br />-4s - 3 - s - 2 = 0<br />-5s = 5<br />s = -1<br /><br />Vậy M = (2, 3, 2)<br /><br />Để tìm N, ta thay phương trình tham số của CD vào phương trình của (Q):<br />(2 - s) - 1 = 0<br />s = 1<br /><br />Vậy N = (-2, 1, 4)<br /><br />**4. Tính độ dài MN:**<br /><br />$MN = \sqrt{(2-(-2))^2 + (3-1)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} \approx 4.898979$<br /><br />Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được 4.90<br /><br />**Đáp án:** 4.90<br /><br /><br />**Lưu ý:** Có nhiều cách chọn vecto pháp tuyến của (P) và (Q). Kết quả cuối cùng về độ dài MN có thể khác nhau một chút do sai số làm tròn, nhưng sẽ gần với 4.90. Phương pháp giải ở trên là một trong những cách tiếp cận vấn đề.<br />