0. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=(1)/(3)x^2-2x+(1)/(2)tan^2x

Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 2x + \frac{1}{2}\tan^2 x \), chúng ta cần tính phần tích phân không xác định của \( f(x) \).<br /><br />1. **Phần tích phân của \(\frac{1}{3}x^2\):**<br /><br /> \[<br /> \int \frac{1}{3}x^2 \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{1}{9}x^3<br /> \]<br /><br />2. **Phần tích phân của \(-2x\):**<br /><br /> \[<br /> \int -2x \, dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2<br /> \]<br /><br />3. **Phần tích phân của \(\frac{1}{2}\tan^2 x\):**<br /><br /> Để tích phân \(\tan^2 x\), chúng ta sử dụng công thức:<br /><br /> \[<br /> \tan^2 x = \sec^2 x - 1<br /> \]<br /><br /> Do đó,<br /><br /> \[<br /> \int \frac{1}{2}\tan^2 x \, dx = \frac{1}{2} \int (\sec^2 x - 1) \, dx = \frac{1}{2} \left( \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx \right)<br /> \]<br /><br /> Tích phân của \(\sec^2 x\) là \(\tan x\), và tích phân của 1 là \(x\):<br /><br /> \[<br /> \frac{1}{2} \left( \tan x - x \right)<br /> \]<br /><br />Vậy, nguyên hàm \( F(x) \) của \( f(x) \) là:<br /><br />\[<br />F(x) = \frac{1}{9}x^3 - x^2 + \frac{1}{2} \left( \tan x - x \right) + C<br />\]<br /><br />Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân.