Câu 5. Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x)=3-5cosx Biết F(pi )=2 Tinh F((pi )/(2))

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng kiến thức về nguyên hàm và tích phân. Đầu tiên, chúng ta tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 3 - 5\cos x \).<br /><br />1. **Tìm nguyên hàm \( F(x) \):**<br /><br /> \[<br /> F(x) = \int (3 - 5\cos x) \, dx<br /> \]<br /><br /> Chúng ta có thể phân tách tích phân:<br /><br /> \[<br /> F(x) = \int 3 \, dx - \int 5\cos x \, dx<br /> \]<br /><br /> Tích phân từng phần:<br /><br /> \[<br /> \int 3 \, dx = 3x<br /> \]<br /><br /> \[<br /> \int 5\cos x \, dx = 5\sin x<br /> \]<br /><br /> Do đó,<br /><br /> \[<br /> F(x) = 3x - 5\sin x + C<br /> \]<br /><br /> Ở đây, \( C \) là hằng số tích phân.<br /><br />2. **Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm \( C \):**<br /><br /> Biết \( F(\pi) = 2 \), chúng ta thay \( x = \pi \) vào phương trình:<br /><br /> \[<br /> F(\pi) = 3\pi - 5\sin(\pi) + C = 2<br /> \]<br /><br /> Vì \( \sin(\pi) = 0 \), nên:<br /><br /> \[<br /> 3\pi + C = 2<br /> \]<br /><br /> Giải phương trình này để tìm \( C \):<br /><br /> \[<br /> C = 2 - 3\pi<br /> \]<br /><br />3. **Tìm \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) \):**<br /><br /> Thay \( C \) vào công thức nguyên hàm và tính \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) \):<br /><br /> \[<br /> F(x) = 3x - 5\sin x + 2 - 3\pi<br /> \]<br /><br /> Thay \( x = \frac{\pi}{2} \):<br /><br /> \[<br /> F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3\left(\frac{\pi}{2}\right) - 5\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 - 3\pi<br /> \]<br /><br /> Vì \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \), nên:<br /><br /> \[<br /> F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{2} - 5 \cdot 1 + 2 - 3\pi<br /> \]<br /><br /> Đơn giản hóa:<br /><br /> \[<br /> F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{2} - 5 + 2 - 3\pi<br /> \]<br /><br /> \[<br /> F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{2} - 3\pi - 3<br /> \]<br /><br /> \[<br /> F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{2} - \frac{6\pi}{2} - 3<br /> \]<br /><br /> \[<br /> F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{3\pi}{2} - 3<br /> \]<br /><br />Vậy, giá trị của \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) \) là:<br /><br />\[<br />F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{3\pi}{2} - 3<br />\]