Câu 21 Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông canh a, SAbot (ABCD) , số đo của góc nhị diện [S,BC,A] bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng (asqrt (30))/(n) . Giá trị của n bằng bao nhiêu? Nhập đáp án Đáp án của bạn

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $\angle SAO$ là góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD).<br /><br />Trong tam giác vuông SAO, ta có: $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Góc nhị diện [S, BC, A] chính là góc $\angle ASB$. Ta có $\angle ASB = 60^{\circ}$.<br /><br />Trong tam giác SAB, ta có $SA = AB \tan 60^{\circ} = a\sqrt{3}$.<br /><br />Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó $OM \perp AB$ và $OM = \frac{a}{2}$. $SM \perp AB$.<br /><br />Trong tam giác SAM, $SM = \sqrt{SA^2 + AM^2} = \sqrt{3a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{13}}{2}$.<br /><br />Khoảng cách giữa SC và BD là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).<br /><br />Kẻ $OH \perp CD$ ($H \in CD$). $OH = \frac{a}{2}$.<br /><br />Kẻ $OK \perp SH$ ($K \in SH$). $OK$ là khoảng cách từ O đến (SCD).<br /><br />Trong tam giác vuông SHO, $\frac{1}{OK^2} = \frac{1}{OH^2} + \frac{1}{SO^2} = \frac{4}{a^2} + \frac{1}{SA^2 + AO^2} = \frac{4}{a^2} + \frac{1}{3a^2 + \frac{a^2}{2}} = \frac{4}{a^2} + \frac{2}{7a^2} = \frac{30}{7a^2}$.<br /><br />$OK = \frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{30}} = \frac{a\sqrt{210}}{30}$.<br /><br />Vậy khoảng cách giữa SC và BD là $\frac{a\sqrt{210}}{30}$. Tuy nhiên, đáp án đề bài cho là $\frac{a\sqrt{30}}{n}$. Có sự sai lệch. Cần xem lại đề bài hoặc cách tính toán.<br /><br />**Tuy nhiên, dựa trên đáp án cho sẵn, ta giả sử có một cách tính khác dẫn đến kết quả $\frac{a\sqrt{30}}{n}$. Do không có đủ thông tin để xác định chính xác lỗi, ta tạm thời không thể tìm được giá trị của n.**<br />