Tính tổng của dãy số \( S=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\ldots+\frac{1}{10^{n}}+\ldots \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính tổng của dãy số \( S=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\ldots+\frac{1}{10^{n}}+\ldots \). Đây là một bài toán thú vị và có ứng dụng rộng rãi trong toán học. Để tính tổng của dãy số này, chúng ta có thể sử dụng một phương pháp đơn giản gọi là phép cộng dãy số hình học. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét một dãy số con của dãy ban đầu, ví dụ như \( S_{n}=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\ldots+\frac{1}{10^{n}} \). Chúng ta có thể thấy rằng \( S_{n} \) là một dãy số hình học với công bội là \(\frac{1}{10}\). Theo công thức tổng của dãy số hình học, ta có \( S_{n}=\frac{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{10}} \). Để tính tổng của dãy số ban đầu, chúng ta chỉ cần lấy giới hạn của \( S_{n} \) khi \( n \) tiến tới vô cùng. Khi \( n \) tiến tới vô cùng, ta có \( \lim_{n \to \infty} S_{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{1-\left(\frac{1}{10}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{10}} \). Bằng cách áp dụng quy tắc l'Hôpital, ta có \( \lim_{n \to \infty} S_{n}=\frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{10}{9} \). Vậy tổng của dãy số \( S=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\ldots+\frac{1}{10^{n}}+\ldots \) là \(\frac{10}{9}\). Bài toán này không chỉ giúp chúng ta hiểu về phép cộng dãy số hình học mà còn có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như xác suất, thống kê và kỹ thuật số. Hiểu rõ về cách tính tổng của dãy số này sẽ giúp chúng ta áp dụng vào các bài toán thực tế và phát triển khả năng tư duy toán học của mình. Tóm lại, trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu cách tính tổng của dãy số \( S=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\ldots+\frac{1}{10^{n}}+\ldots \) bằng cách sử dụng phép cộng dãy số hình học. Bài toán này không chỉ có ý nghĩa trong toán học mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.