Xác định giá trị của A để hàm số liên tục tại x=0

Trong bài toán này, chúng ta cần xác định giá trị của A để hàm số \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x \sin 2 x}{\ln \left(1+x^{2}\right)} & \text { khi } \mathrm{x}

eq 0 \\ 2 A-2+x & \text { khi } \mathrm{x}=0\end{array}\right. \) liên tục tại \( x=0 \). Để hàm số liên tục tại \( x=0 \), giá trị của hàm số tại \( x=0 \) phải bằng giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 0 từ cả hai phía trái và phải. Đầu tiên, chúng ta xem xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 0 từ phía trái. Khi \( x \) tiến đến 0 từ phía trái, hàm số được định nghĩa bởi \( \frac{x \sin 2 x}{\ln \left(1+x^{2}\right)} \). Để tính giới hạn này, chúng ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital. Áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta có: \[ \lim_{x \to 0^-} \frac{x \sin 2 x}{\ln \left(1+x^{2}\right)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin 2 x + 2 x \cos 2 x}{2x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin 2 x}{2x} + \lim_{x \to 0^-} \cos 2 x = 1 + 1 = 2 \] Tiếp theo, chúng ta xem xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 0 từ phía phải. Khi \( x \) tiến đến 0 từ phía phải, hàm số được định nghĩa bởi \( 2 A-2+x \). Để tính giới hạn này, chúng ta chỉ cần thay \( x=0 \) vào hàm số: \[ \lim_{x \to 0^+} (2 A-2+x) = 2 A - 2 \] Vì hàm số liên tục tại \( x=0 \), giá trị của hàm số tại \( x=0 \) phải bằng giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 0 từ cả hai phía trái và phải. Do đó, ta có: \[ 2 A - 2 = 2 \] Từ đó, ta có: \[ A = 2 \] Vậy, giá trị của A để hàm số \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) \) liên tục tại \( x=0 \) là A=2. Do đó, đáp án đúng là A.