Chứng minh các đẳng thức và tính chất trong tam giác vuông

Giới thiệu: Tam giác vuông \( \mathrm{ABC} \) có góc vuông tại đỉnh \( \mathrm{A} \). Trong tam giác này, chúng ta sẽ chứng minh các đẳng thức và tính chất quan trọng. Phần đầu tiên: Chứng minh \( \triangle ABD = \triangle EBD \) và \( \triangle ADK = \triangle EDC \) Để chứng minh \( \triangle ABD = \triangle EBD \), ta xét tia phân giác của góc \( \mathrm{B} \) cắt cạnh \( AC \) tại điểm \( D \). Kẻ đường thẳng \( DE \) vuông góc với \( BC \) tại điểm \( E \). Ta cần chứng minh rằng hai tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle EBD \) có diện tích bằng nhau. Để chứng minh điều này, ta sử dụng nguyên lý cơ bản về diện tích tam giác: diện tích của một tam giác bằng một nửa tích số độ dài hai cạnh của tam giác và độ sin của góc giữa hai cạnh đó. Áp dụng nguyên lý này vào hai tam giác \( \triangle ABD \) và \( \triangle EBD \), ta có: \( \mathrm{Area}(\triangle ABD) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin(\angle ABD) \) \( \mathrm{Area}(\triangle EBD) = \frac{1}{2} \cdot EB \cdot BD \cdot \sin(\angle EBD) \) Vì \( AB = EB \) và \( \angle ABD = \angle EBD \) (do \( \triangle ABD \) và \( \triangle EBD \) là hai tam giác cùng có góc \( \angle B \) là góc chung), nên ta có \( \mathrm{Area}(\triangle ABD) = \mathrm{Area}(\triangle EBD) \). Tương tự, để chứng minh \( \triangle ADK = \triangle EDC \), ta sử dụng nguyên lý tương tự và nhận thấy rằng \( AD = ED \) và \( \angle ADK = \angle EDC \) (do \( \triangle ADK \) và \( \triangle EDC \) là hai tam giác cùng có góc \( \angle D \) là góc chung). Do đó, \( \mathrm{Area}(\triangle ADK) = \mathrm{Area}(\triangle EDC) \). Phần thứ hai: Chứng minh \( BK = CK \) Để chứng minh \( BK = CK \), ta xét giao điểm \( K \) của đường thẳng \( DE \) và \( AB \). Ta cần chứng minh rằng \( BK = CK \). Áp dụng nguyên lý cơ bản về tỉ lệ đồng dạng, ta có: \( \frac{BK}{CK} = \frac{BD}{CD} \) Vì \( \triangle ABD \) và \( \triangle EDC \) là hai tam giác đồng dạng (đã được chứng minh ở phần trước), nên ta có \( \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{EC} \). Vì \( AB = EC \) (do \( \triangle ABD \) và \( \triangle EBD \) là hai tam giác cùng có góc \( \angle B \) là góc chung), nên ta có \( \frac{BK}{CK} = 1 \), hay \( BK = CK \). Phần thứ ba: Chứng minh \( HK = HC \) Để chứng minh \( HK = HC \), ta xét giao điểm \( H \) của đường thẳng \( BD \) và \( CK \). Ta cần chứng minh rằng \( HK = HC \). Áp dụng nguyên lý cơ bản về tỉ lệ đồng dạng, ta có: \( \frac{HK}{HC} = \frac{BD}{BC} \) Vì \( \triangle ABD \) và \( \triangle ABC \) là hai tam giác đồng dạng (do \( \angle ABD = \angle ABC \) và \( \angle BDA = \angle BAC \)), nên ta có \( \frac{BD}{BC} = \frac{AB}{AC} \). Vì \( AB = AC \) (do \( \triangle ABC \) là tam giác vuông cân), nên ta có \( \frac{HK}{HC} = 1 \), hay \( HK = HC \). Kết luận: Bài viết này đã chứng minh các đẳng thức và tính chất quan trọng trong tam giác vuông \( \triangle ABC \). Chúng ta đã chứng minh được rằng \( \triangle ABD = \triangle EBD \), \( \triangle ADK = \triangle EDC \), \( BK = CK \) và \( HK = HC \). Các kết quả này có thể được áp dụng trong nhiều bài toán liên quan đến tam giác vuông và giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của tam giác vuông.