Đạo hàm riêng của hàm số \( f(x, y)=\arctan (y / x) \) theo biến \( x \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về đạo hàm riêng của hàm số \( f(x, y)=\arctan (y / x) \) theo biến \( x \). Để làm điều này, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và quy tắc đạo hàm của hàm ngược. Đầu tiên, chúng ta sẽ tính đạo hàm riêng của hàm số \( f(x, y)=\arctan (y / x) \) theo biến \( x \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Theo quy tắc này, đạo hàm riêng của hàm hợp \( g(f(x)) \) theo biến \( x \) được tính bằng tích của đạo hàm riêng của hàm \( g \) theo biến \( f(x) \) và đạo hàm riêng của hàm \( f \) theo biến \( x \). Áp dụng quy tắc này vào hàm số \( f(x, y)=\arctan (y / x) \), ta có: \( f(x) = \arctan (y / x) \) \( g(x) = x \) \( f(x) = g(f(x)) \) Đạo hàm riêng của \( f(x) \) theo biến \( x \) được tính bằng tích của đạo hàm riêng của \( g(x) \) theo biến \( f(x) \) và đạo hàm riêng của \( f(x) \) theo biến \( x \). Đạo hàm riêng của \( g(x) \) theo biến \( f(x) \) là \( 1 \) và đạo hàm riêng của \( f(x) \) theo biến \( x \) là: \( \frac{d}{dx} \arctan (y / x) \) Tiếp theo, chúng ta sẽ tính đạo hàm riêng của hàm số \( \arctan (y / x) \) theo biến \( x \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm ngược. Theo quy tắc này, đạo hàm riêng của hàm ngược \( \arctan (u) \) theo biến \( u \) được tính bằng đạo hàm riêng của \( u \) theo biến \( x \) chia cho \( 1 + u^2 \). Áp dụng quy tắc này vào hàm số \( \arctan (y / x) \), ta có: \( u = \frac{y}{x} \) \( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \frac{y}{x} \) \( \frac{du}{dx} = \frac{-y}{x^2} \) Đạo hàm riêng của \( \arctan (y / x) \) theo biến \( x \) là: \( \frac{d}{dx} \arctan (y / x) = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot \frac{-y}{x^2} \) \( \frac{d}{dx} \arctan (y / x) = \frac{-y}{x^2 + y^2} \) Vậy, đạo hàm riêng của hàm số \( f(x, y)=\arctan (y / x) \) theo biến \( x \) là \( \frac{-y}{x^2 + y^2} \). Trên đây là quá trình tính toán và kết quả cuối cùng. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm riêng của hàm số \( f(x, y)=\arctan (y / x) \) theo biến \( x \).