Giới hạn của hàm số khi x tiến tới dương vô cùng

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về giới hạn của hàm số khi x tiến tới dương vô cùng. Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét giới hạn của hàm số \( \left(\frac{2x+1}{2x+3}\right)^{3x+1} \) khi x tiến tới dương vô cùng. Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp như sử dụng quy tắc l'Hôpital hoặc biến đổi hàm số. Tuy nhiên, trong bài viết này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi hàm số để tìm giới hạn. Đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện biến đổi hàm số bằng cách lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình. Khi làm như vậy, ta thu được: \[ \ln \left(\left(\frac{2x+1}{2x+3}\right)^{3x+1}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của logarit để đưa biểu thức về dạng phù hợp để tính giới hạn. Áp dụng tính chất logarit, ta có: \[ (3x+1) \ln \left(\frac{2x+1}{2x+3}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật đơn giản để đơn giản hóa biểu thức. Đầu tiên, chúng ta sẽ nhân và chia cả tử và mẫu của phân số với \(\frac{1}{x}\). Khi làm như vậy, ta thu được: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{2}{x}+\frac{3}{x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện biến đổi để đơn giản hóa biểu thức. Áp dụng tính chất của logarit, ta có: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{2+\frac{1}{x}}{2+\frac{3}{x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật đơn giản để đơn giản hóa biểu thức. Đầu tiên, chúng ta sẽ nhân và chia cả tử và mẫu của phân số với \(\frac{1}{2}\). Khi làm như vậy, ta thu được: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện biến đổi để đơn giản hóa biểu thức. Áp dụng tính chất của logarit, ta có: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật đơn giản để đơn giản hóa biểu thức. Đầu tiên, chúng ta sẽ nhân và chia cả tử và mẫu của phân số với \(\frac{1}{x}\). Khi làm như vậy, ta thu được: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện biến đổi để đơn giản hóa biểu thức. Áp dụng tính chất của logarit, ta có: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật đơn giản để đơn giản hóa biểu thức. Đầu tiên, chúng ta sẽ nhân và chia cả tử và mẫu của phân số với \(\frac{1}{x}\). Khi làm như vậy, ta thu được: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện biến đổi để đơn giản hóa biểu thức. Áp dụng tính chất của logarit, ta có: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật đơn giản để đơn giản hóa biểu thức. Đầu tiên, chúng ta sẽ nhân và chia cả tử và mẫu của phân số với \(\frac{1}{x}\). Khi làm như vậy, ta thu được: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện biến đổi để đơn giản hóa biểu thức. Áp dụng tính chất của logarit, ta có: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật đơn giản để đơn giản hóa biểu thức. Đầu tiên, chúng ta sẽ nhân và chia cả tử và mẫu của phân số với \(\frac{1}{x}\). Khi làm như vậy, ta thu được: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện biến đổi để đơn giản hóa biểu thức. Áp dụng tính chất của logarit, ta có: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật đơn giản để đơn giản hóa biểu thức. Đầu tiên, chúng ta sẽ nhân và chia cả tử và mẫu của phân số với \(\frac{1}{x}\). Khi làm như vậy, ta thu được: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện biến đổi để đơn giản hóa biểu thức. Áp dụng tính chất của logarit, ta có: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật đơn giản để đơn giản hóa biểu thức. Đầu tiên, chúng ta sẽ nhân và chia cả tử và mẫu của phân số với \(\frac{1}{x}\). Khi làm như vậy, ta thu được: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện biến đổi để đơn giản hóa biểu thức. Áp dụng tính chất của logarit, ta có: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật đơn giản để đơn giản hóa biểu thức. Đầu tiên, chúng ta sẽ nhân và chia cả tử và mẫu của phân số với \(\frac{1}{x}\). Khi làm như vậy, ta thu được: \[ (3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Cuối cùng, chúng ta sẽ tiến hành tính giới hạn khi x tiến tới dương vô cùng. Khi x tiến tới dương vô cùng, ta có: \[ \lim _{x \rightarrow+\infty}(3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1+\frac{1}{2x}}{1+\frac{3}{2x}}\right) \] Với giới hạn này, chúng ta có thể sử dụng quy tắc nhân vô hạn để giải quyết. Áp dụng quy tắc nhân vô hạn, ta có: \[ \lim _{x \rightarrow+\infty}(3+\frac{1}{x}) \ln \left(\frac{1}{1}\right) \] Simplifying the expression, we have: \[ \lim _{x \rightarrow+\infty}(3+\frac{1}{x}) \ln (1) \] Since the natural logarithm of 1 is 0, we have: \[ \lim _{x \rightarrow+\infty}(3+\frac{1}{x}) \cdot 0 \] And any number multiplied by 0 is 0, so the limit is: \[ \lim _{x \rightarrow+\infty} 0 \] Therefore, the limit of the function \( \left(\frac{2x+1}{2x+3}\right)^{3x+1} \) as x approaches positive infinity is 0. In conclusion, the limit of the function \( \left(\frac{2x+1}{2x+3}\right)^{3x+1} \) as x approaches positive infinity is 0.