7.12. Ký hiệu Z[sqrt (2)]= a+bsqrt (2)vert a,bin Z) a) Chứng minh rằng Z[sqrt (2)] cùng với phép cộng và nhân thông thường là một miền nguyên. b) Đặt delta (a+bsqrt (2))=vert a^2-2b^2vert với mọi a,bin Z Chứng minh rằng (Z[sqrt (2)],delta ) là một miền nguyên Euclid.

a) Để chứng minh \( Z[\sqrt{2}] \) là một miền nguyên, chúng ta cần kiểm tra các tính chất sau:<br />1. **Tính đóng cửa dưới phép cộng và nhân**: Điều này có nghĩa là nếu hai phần tử trong \( Z[\sqrt{2}] \) được cộng hoặc nhân với nhau, kết quả cũng nằm trong \( Z[\sqrt{2}] \). Điều này rõ ràng là đúng vì \( a+b\sqrt{2} \) và \( c+d\sqrt{2} \) (với \( a, b, c, d \in Z \)) khi cộng hoặc nhân với nhau sẽ cho kết quả là một phần tử dạng \( e+f\sqrt{2} \) với \( e, f \in Z \).<br />2. **Phần tử đơn vị**: Miền nguyên phải có một phần tử đơn vị (đơn vị của phép nhân). Trong trường hợp này, phần tử đơn vị là 1.<br />3. **Phần tử nghịch đảo**: Mỗi phần tử không bằng 0 trong miền nguyên phải có một phần tử nghịch đảo. Với \( a+b\sqrt{2} \neq 0 \), phần tử nghịch đảo của nó là \( \frac{a}{a^2-2b^2} - \frac{b\sqrt{2}}{a^2-2b^2} \).<br /><br />b) Để chứng minh \( (Z[\sqrt{2}], \delta) \) là một miền nguyên Euclid, chúng ta cần kiểm tra các tính chất sau:<br />1. **Tính chất của hàm số**: \( \delta(a+b\sqrt{2}) = |a^2 - 2b^2| \) với \( a, b \in Z \). Hàm số này đo lường "khoảng cách" từ phần tử \( a+b\sqrt{2} \) đến 0.<br />2. **Tính chất của miền nguyên**: Các phần tử trong miền nguyên phải là số nguyên. Trong trường hợp này, \( a \) và \( b \) phải là số nguyên.<br />3. **Tính chất của phép toán**: Hàm số \( \delta \) phải tuân thủ các tính chất của miền nguyên Euclid, như tính chất của phép cộng và nhân.