" Câu 82 .Trong không gian Oxyz cho A(1;0;2), B(-1;2;2), C(3;1;1) . Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxz) sao cho biểu thức S=2overrightarrow (MA)cdot overrightarrow (MB)+overrightarrow (MB)cdot overrightarrow (MC)+3overrightarrow (MC)cdot overrightarrow (MA) đạt giá trị nhỏ nhất . Khi đó T=6a-5b+3c có giá trị là x Điền đáp số: square

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm điểm \( M(a; b; c) \) thuộc mặt phẳng \((Oxz)\) sao cho biểu thức \( S = 2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MA} \) đạt giá trị nhỏ nhất.<br /><br />Đầu tiên, chúng ta biểu diễn các vector \(\overrightarrow{MA}\), \(\overrightarrow{MB}\), và \(\overrightarrow{MC}\) dưới dạng tọa độ:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{MA} = (1 - a, 0 - b, 2 - c)<br />\]<br />\[<br />\overrightarrow{MB} = (-1 - a, 2 - b, 2 - c)<br />\]<br />\[<br />\overrightarrow{MC} = (3 - a, 1 - b, 1 - c)<br />\]<br /><br />Tiếp theo, chúng ta tính tích vô hướng của các cặp vector:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (1 - a)(-1 - a) + (0 - b)(2 - b) + (2 - c)(2 - c)<br />\]<br />\[<br />= a^2 + a + 2b^2 - 2b + c^2 - 4c<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = (-1 - a)(3 - a) + (2 - b)(1 - b) + (2 - c)(1 - c)<br />\]<br />\[<br />= a^2 - 4a + 3 + b^2 - 3b + 2 + c^2 - 3c<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MA} = (3 - a)(1 - a) + (1 - b)(0 - b) + (1 - c)(2 - c)<br />\]<br />\[<br />= a^2 - 4a + 3 + b^2^2 - 3c<br />\]<br /><br />Thay các giá trị này vào biểu thức \( S \):<br /><br />\[<br />S = 2(a^2 + a + 2b^2 - 2b + c^2 - 4c) + (a^2 - 4a + 3 + b^2 - 3b + 2 + c^2 - 3c) + 3(a^2 - 4a + 3 + b^2 + c^2 - 3c)<br />\]<br /><br />\[<br />= 2a^2 + 2a + 4b^2 - 4b + 2c^2 - 8c + a^2 - 4a + 3 + b^2 - 3b + 2 + c^2 - 3c + 3a^2 - 12a + 9 + 3b^2 + 3c^2 - 9c<br />\]<br /><br />\[<br />= 6a^2 + 6b^2 + 6c^214a - 7b - 14c + 18<br />\]<br /><br />Để \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(a, b, c) = 6a^2 + 6b^2 + 6c^2 - 14a - 7b - 14c + 18 \). Điều này tương đương với việc tìm điểm cực tiểu của hàm số này.<br /><br />Tính đạo hàm riêng theo \( a \), \( b \), và \( c \):<br /><br />\[<br />f_a = 12a - 14<br />\]<br />\[<br />f_b = 12b - 7<br />\]<br />\[<br />f_c = 12c -<br />\]<br /><br />Đặt các đạo hàm riêng bằng 0 để tìm điểm cực tiểu:<br /><br />\[<br />12a - 14 = 0 \implies a = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}<br />\]<br />\[<br />12b - 7 = 0 \implies b = \frac{7}{12}<br />\]<br />\[<br />12c - 14 = 0 \implies c = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}<br />\]<br /><br />Khi đó, giá trị của \( T \) được tính như sau:<br /><br />\[<br />T = 6a - 5b + 3c = 6 \left(\frac{7}{6}\right) - 5 \left(\frac{7}{12}\right) + 3 \left(\frac{7}{6}\right)<br />\]<br /><br />\[<br />=