a) Cho phương trình x=2m^2cos(pi t+(pi )/(2))(cm) Tìm m để phương trình x nhận giá trị dương khi t=sqrt (2)

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình \( x = 2m^2 \cos\left(\pi t + \frac{\pi}{2}\right) \) mang giá trị dương khi \( t = \sqrt{2} \).<br /><br />Bước 1: Thay \( t = \sqrt{2} \) vào phương trình.<br /><br />\[ x = 2m^2 \cos\left(\pi \sqrt{2} + \frac{\pi}{2}\right) \]<br /><br />Bước 2: Tính giá trị trong hàm cos.<br /><br />\[ \pi \sqrt{2} + \frac{\pi}{2} = \pi \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) \]<br /><br />Bước 3: Đặt \( \alpha = \pi \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) \).<br /><br />Vậy phương trình trở thành:<br /><br />\[ x = 2m^2 \cos(\alpha) \]<br /><br />Bước 4: Để \( x \) mang giá trị dương, \( \cos(\alpha) \) phải mang giá trị dương.<br /><br />\[ \cos\left(\pi \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)\right) > 0 \]<br /><br />Bước 5: Xác định khoảng giá trị của \( \alpha \) để \( \cos(\alpha) > 0 \).<br /><br />\[ \alpha \in (2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}) \quad \text{với } k \in \mathbb{Z} \]<br /><br />Bước 6: Tìm giá trị cụ thể của \( \alpha \).<br /><br />\[ \pi \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) \in (2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}) \]<br /><br />Bước 7: Giải bất phương trình.<br /><br />\[ 2k\pi - \frac{\pi}{2} < \pi \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) < 2k\pi + \frac{\pi}{2} \]<br /><br />\[ -\frac{1}{2} + 2k < \sqrt{2} + \frac{1}{2} < \frac{1}{2} + 2k \]<br /><br />\[ 2k < \sqrt{2} < 2k + 1 \]<br /><br />Bước 8: Tìm giá trị nguyên của \( k \).<br /><br />\[ k = 1 \]<br /><br />Bước 9: Thay \( k = 1 \) vào bất phương trình.<br /><br />\[ -\frac{1}{2} + 2 < \sqrt{2} < \frac{1}{2} + 2 \]<br /><br />\[ \frac{3}{2} < \sqrt{2} < \frac{5}{2} \]<br /><br />Điều này không đúng, vì vậy chúng ta cần kiểm tra lại.<br /><br />Bước 10: Kiểm tra lại bất phương trình.<br /><br />\[ 2k - \frac{1}{2} < \sqrt{2} + \frac{1}{2} < 2k + \frac{1}{2} \]<br /><br />\[ 2k - 1 < \sqrt{2} < 2k + 1 \]<br /><br />Bước 11: Tìm giá trị nguyên của \( k \).<br /><br />\[ k = 1 \]<br /><br />Bước 12: Thay \( k = 1 \) vào bất phương trình.<br /><br />\[ 1 < \sqrt{2} < 2 \]<br /><br />Điều này đúng, vì vậy \( k = 1 \) là giá trị đúng.<br /><br />Vậy, \( m \) có thể là bất kỳ giá trị nào vì \( \cos(\alpha) \) chỉ cần dương.<br /><br />Kết luận: \( m \) có thể là bất kỳ giá trị nào.