" Câu 81 .Trong không gian Oxyz , cho A(3;2;-1), B(-1;0;5) . Điểm M(a;b;c) thay đôi thuộc mặt phẳng (Oxy) . Tính giá trị của biểu thức T=a+b+c khi vert overrightarrow (MA)+overrightarrow (MB)vert nhỏ nhất. x Điền đáp số: square

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm điểm \( M(a; b; c) \) sao cho tổng vector \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\) có độ dài nhỏ nhất. Điều này tương đương với việc \( M \) sao cho tổng các khoảng cách từ \( M \) đến hai điểm \( A \) và \( B \) là nhỏ nhất.<br /><br />1. **Tính vector \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\):**<br /><br /> \[<br /> \overrightarrow{MA} = (a - 3, b - 2, c + 1)<br /> \]<br /> \[<br /> \overrightarrow{MB} = (a + 1, b, c - 5)<br /> \]<br /><br />2. **Tính tổng vector \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow}\):**<br /><br /> \[<br /> \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = (a - 3 + a + 1, b - 2 + b, c + 1 + c - 5)<br /> \]<br /> \[<br /> \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = (2a - 2, 2b - 2, 2c - 4)<br /> \]<br /><br />3. **Tính độ dài của vector \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\):**<br /><br /> \[<br /> |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = \sqrt{(2a - 2)^2 + (2b - 2)^2 + (2c - 4)^2}<br /> \]<br /><br />4. **Đặt hàm số \( f(a, b, c) \) biểu diễn độ dài này:**<br /><br /> \[<br /> f(a, b, c) = \sqrt{(2a - 2 + (2b - 2)^2 + (2c - 4)^2}<br /> \]<br /><br />5. **Để \(\vert \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \vert\) nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa hàm số \( f(a, b, c) \).**<br /><br /> Do \( f(a, b, c) \) là một hàm số có dạng \(\sqrt{Ax^2 + By^2 + Cz^2}\), giá trị nhỏ nhất của \( f(a, b, c) \) sẽ xảy ra khi \( A, B, C \) đều bằng 0.<br /><br /> Vậy, ta cần giải hệ phương trình sau:<br /><br /> \[<br /> 2a - 2 = 0 \implies a = 1<br /> \]<br /> \[<br /> 2b - 2 = 0 \implies b = 1<br /> \]<br /> \[<br /> 2c - 4 = 0 \implies c = 2<br /> \]<br /><br />6. **Tính giá trị của \( T = a + b + c \) khi \( a = 1, b = 1, c = 2 \):**<br /><br /> \[<br /> T = 1 + 1 + 2 = 4<br /> \]<br /><br />Vậy, giá trị của biểu thức \( T = a + b + c \) khi \(\vert \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} \vert\) nhỏ nhất là \(\boxed{4}\).