Cho [x,y]là hai số thực dương,xne 1 thỏa mãn (mathrm{log)}_(sqrt(x))y=(2y)/(5),(mathrm{log)}_(25)x=(5)/(2y). Tính giá trị của [P=(y)^2-2(x)^2.] A. P=1. B. P=0. C. P=-25. D. P=25.

Để giải bài toán ta cần áp dụng kiến thức về hàm logarit. Trước hết ta chuyển đổi biểu thức ${\mathrm{log}}_{\sqrt{x}}y=\frac{2y}{5}$ thành ${\mathrm{log}}_{x}{y}^{2}=\frac{2y}{5}$ . Điều này xảy ra do đặc tính cơ bản của hàm logarit: ${\mathrm{log}}_{a}b=c\Leftrightarrow {\mathrm{log}}_{a^{\frac{1}{m}}}b=\frac{c}{m}$ <br /><br />Sau đó, ta nhận thấy mặt phải của hai phương trình bằng nhau, từ đó suy ra ${y}^{2}=25$. Vì y phải là một số thực dương nên ta có y=5.<br /><br />Như vậy đặt y vào phương trình thứ hai được ${\mathrm{log}}_{25}x=\frac{5}{2y}$. Lại sử dụng quy đổi cơ số logarit, ta có: <br /><br />\[\log_a{b}=c \Rightarrow b=a^c\]<br /><br />Nên ta có $x=25^\frac{1}{2}=5$.<br /><br />Cuối cùng ta đặt $x=5$ và $y=5$ vào biểu thức \[P={y}^{2}-2{x}^{2}=5^2-2*5^2=-25\]<br /><br />Vậy đáp án là C. $P=-25$