2. Cho tam giác ABC Lấy điểm M,N lần lượt là a Am E 2,5m trung điểm của AB và AC. Qua C kẻ tia Cx song song với AB, cắt MN ở G. Gọi H là giao điểm của AC và BG. Kẻ HI song song với AB(Iin BC) a) Chứng minh: MN//BC và tính BC, biết MN=2,5cm b) Chứng minh: HC^2=HA.HN c) Chứng minh: (1)/(HI)=(1)/(AB)+(1)/(CG)

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, MN // BC. Vì MN // BC và MN = 2,5cm, mà MN là đường trung bình nên BC = 2MN = 2(2,5cm) = 5cm.<br /><br />b) Xét tam giác ABG, có MN // BG (do MN // BC và G thuộc BC). Theo định lý Thales, ta có: $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AG} = \frac{MN}{BG}$. Vì M là trung điểm AB nên AM/AB = 1/2. Do đó, MN = BG/2.<br /><br />Xét tam giác HBC, có HI // BC (gt). Theo định lý Thales, ta có: $\frac{HC}{HB} = \frac{HI}{BC}$.<br /><br />Xét tam giác AHN và tam giác CHB, có: $\angle AHN = \angle CHB$ (đối đỉnh); $\angle HAN = \angle HCB$ (do MN//BC). Vậy tam giác AHN đồng dạng với tam giác CHB (g.g).<br /><br />Từ đó suy ra: $\frac{HA}{HC} = \frac{HN}{HB}$. Nhân chéo ta được: $HA.HB = HC.HN$. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu chứng minh $HC^2 = HA.HN$, điều này không đúng trong trường hợp tổng quát. Phát biểu của câu b) cần được xem xét lại.<br /><br /><br />c) Không đủ thông tin để chứng minh $\frac{1}{HI} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{CG}$. Cần thêm giả thiết hoặc bổ sung chứng minh.<br />