Câu 17: ( 2, 5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) , đường cao AN và CK của tam giác ABC cắt nhau tại H a) Chứng minh:tứ giác BKHN nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn ngoại ti ếp tam giác KBH b) Chứng minh: hat (KBH)=hat (KCA) c) Gọi E là trung điểm của AC . Chứng minh KE là tiếp tuyến của (I) d) Đường tròn (I) cắt (O) tại M. Chứng minh BM vuông góc với ME

a) Để chứng minh tứ giác BKHN nội tiếp, ta cần chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180°. Ta có:<br /><br />- Góc BHN = 180° - góc BNC (vì BN là phân giác của góc BNC)<br />- Góc HKB = 180° - góc HKB (vì HK là phân giác của góc HKB)<br /><br />Do đó, góc BHN + góc HKB = 180°, nên tứ giác BKHN nội tiếp.<br /><br />Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác KBH là giao điểm của các trực tâm của tam giác KBH. Vì vậy, I là giao điểm của đường thẳng BH và đường thẳng KE.<br /><br />b) Để chứng minh góc KBH = góc KCA, ta cần sử dụng định lý về góc giữa dây và tiếp tuyến. Ta có:<br /><br />- Góc KBH = 180° - góc KIH (vì HI là tiếp tuyến của đường tròn tại H)<br />- Góc KCA = 180° - góc Kvì IA là tiếp tuyến của đường tròn tại A)<br /><br />Do đó, góc KBH = góc KCA.<br /><br />c) Để chứng minh KE là tiếp tuyến của đường tròn (I), ta cần chứng minh góc KIE = 90°. Ta có:<br /><br />- Góc KIE = 180° - góc KIB (vì IB là tiếp tuyến của đường tròn tại B)<br />- GIB = 180° - góc KAB (vì AB là tiếp tuyến của đường tròn tại A)<br /><br />Do đó, góc KIE = 90°, nên KE là tiếp tuyến của đường tròn (I).<br /><br />d) Để chứng minh BM vuông góc với ME, ta cần sử dụng định lý về góc giữa dây và tiếp tuyến. Ta có:<br /><br />- Góc BME = 180° - góc BIM (vì IM là tiếp tuyến của đường tròn tại M)<br />- Góc BIM = 180° - góc BOM (vì OM là tiếp tuyến của đường tròn tại O)<br /><br />Do đó, góc BME = 90°, nên BM vuông góc với ME.