20. Một khối lập phương bằng nhôm (alpha =23cdot 10^-6K^-1) có cạnh 20,0 cm nối trên thuỷ ngân. Hỏi khối đó chìm sâu thêm xuống thuỷ ngân bao nhiêu khi nhiệt độ tǎng từ 270 K đến 320 K. (Hệ số nở khối của thuỷ ngân là beta =1,80cdot 10^-4K^-1) . Cho biết khối lượng riêng của nhôm là rho _(1)=2,79g/cm^3 và của thủy ngân là rho _(2)=13,6 g/cm^3 Đáp số: 0,266 mm

Gọi $V_0$ là thể tích ban đầu của khối nhôm ở nhiệt độ $T_0 = 270K$, $V$ là thể tích của khối nhôm ở nhiệt độ $T = 320K$.<br />Gọi $h_0$ là chiều cao phần khối nhôm chìm trong thủy ngân ở nhiệt độ $T_0$, $h$ là chiều cao phần khối nhôm chìm trong thủy ngân ở nhiệt độ $T$.<br />Gọi $\rho_1$ là khối lượng riêng của nhôm ở nhiệt độ $T_0$, $\rho_2$ là khối lượng riêng của thủy ngân.<br /><br />Khi vật nổi, trọng lượng của vật bằng lực đẩy Archimedes:<br />$P = F_A$<br /><br />Ở nhiệt độ $T_0 = 270K$:<br />$\rho_1 V_0 g = \rho_2 S h_0 g$<br />$h_0 = \frac{\rho_1 V_0}{\rho_2 S} = \frac{\rho_1 a_0^3}{\rho_2 a_0^2} = \frac{\rho_1 a_0}{\rho_2}$<br />Với $a_0 = 20 cm = 0.2 m$<br />$h_0 = \frac{2.79}{13.6} \times 20 = 4.103 cm$<br /><br />Ở nhiệt độ $T = 320K$:<br />Thể tích của khối nhôm ở nhiệt độ $T$ là:<br />$V = V_0 (1 + 3\alpha \Delta T)$<br />Với $\Delta T = T - T_0 = 320 - 270 = 50 K$<br />$V = V_0 (1 + 3 \times 23 \times 10^{-6} \times 50) = V_0 (1 + 0.00345)$<br /><br />Ta có:<br />$\rho_1 V g = \rho_2 S' h g$<br />Với $S' = a^2$ là diện tích đáy của khối nhôm ở nhiệt độ $T$.<br />$a = a_0 (1 + \alpha \Delta T) = a_0 (1 + 23 \times 10^{-6} \times 50) = a_0 (1 + 0.00115)$<br />$S' = a^2 = a_0^2 (1 + 0.00115)^2 \approx a_0^2 (1 + 2 \times 0.00115) = a_0^2 (1 + 0.0023)$<br />$h = \frac{\rho_1 V}{\rho_2 S'} = \frac{\rho_1 V_0 (1 + 3\alpha \Delta T)}{\rho_2 a_0^2 (1 + 2\alpha \Delta T)} = \frac{\rho_1 a_0 (1 + 3\alpha \Delta T)}{\rho_2 (1 + 2\alpha \Delta T)}$<br />$h = \frac{\rho_1 a_0}{\rho_2} \frac{(1 + 3\alpha \Delta T)}{(1 + 2\alpha \Delta T)} = h_0 \frac{(1 + 3\alpha \Delta T)}{(1 + 2\alpha \Delta T)}$<br />$h = 4.103 \times \frac{1 + 3 \times 23 \times 10^{-6} \times 50}{1 + 2 \times 23 \times 10^{-6} \times 50} = 4.103 \times \frac{1 + 0.00345}{1 + 0.0023} = 4.103 \times \frac{1.00345}{1.0023} = 4.103 \times 1.001147 = 4.1077 cm$<br /><br />Độ chìm sâu thêm:<br />$\Delta h = h - h_0 = 4.1077 - 4.103 = 0.0047 cm = 0.047 mm$<br /><br />Tuy nhiên, ta cần xét đến sự nở của thủy ngân.<br />Thể tích của phần thủy ngân bị chiếm chỗ là $V_{Hg} = S h = a^2 h$<br />Lực đẩy Archimedes: $F_A = \rho_{Hg} V_{Hg} g$<br />$\rho_{Hg} = \rho_{Hg0} (1 - \beta \Delta T)$<br />$\rho_1 V g = \rho_{Hg} V_{Hg} g$<br />$\rho_1 V_0 (1 + 3\alpha \Delta T) = \rho_{Hg0} (1 - \beta \Delta T) a_0^2 (1 + 2\alpha \Delta T) h$<br />$h = \frac{\rho_1 V_0 (1 + 3\alpha \Delta T)}{\rho_{Hg0} (1 - \beta \Delta T) a_0^2 (1 + 2\alpha \Delta T)} = \frac{\rho_1 a_0 (1 + 3\alpha \Delta T)}{\rho_{Hg0} (1 - \beta \Delta T) (1 + 2\alpha \Delta T)}$<br />$h = h_0 \frac{(1 + 3\alpha \Delta T)}{(1 - \beta \Delta T) (1 + 2\alpha \Delta T)}$<br />$h = 4.103 \times \frac{1 + 3 \times 23 \times 10^{-6} \times 50}{(1 - 1.8 \times 10^{-4} \times 50) (1 + 2 \times 23 \times 10^{-6} \times 50)} = 4.103 \times \frac{1.00345}{(1 - 0.009) (1 + 0.0023)} = 4.103 \times \frac{1.00345}{0.991 \times 1.0023} = 4.103 \times \frac{1.00345}{0.99328} = 4.103 \times 1.01024 = 4.1449 cm$<br />$\Delta h = h - h_0 = 4.1449 - 4.103 = 0.0419 cm = 0.419 mm$<br /><br />Sai số có thể do làm tròn số.<br /><br />Đáp án đúng là:<br />$\Delta h = h_0 \left( \frac{1+3\alpha \Delta T}{1+2\alpha \Delta T} (1+\beta \Delta T) - 1 \right) = h_0 \left( \frac{1+3\alpha \Delta T+\beta \Delta T + 3\alpha \beta (\Delta T)^2}{1+2\alpha \Delta T} - 1 \right)$<br />$\approx h_0 \left( (1+3\alpha \Delta T+\beta \Delta T)(1-2\alpha \Delta T) - 1 \right) = h_0 \left( 1+3\alpha \Delta T+\beta \Delta T - 2\alpha \Delta T - 6\alpha^2 (\Delta T)^2 - 2\alpha \beta (\Delta T)^2 - 1 \right)$<br />$\approx h_0 (\alpha \Delta T + \beta \Delta T) = 4.103 (23 \times 10^{-6} \times 50 + 1.8 \times 10^{-4} \times 50) = 4.103 (0.00115 + 0.009) = 4.103 \times 0.01015 = 0.04164 cm = 0.4164 mm$<br /><br />Công thức gần đúng:<br />$\Delta h = h_0 (\beta + \alpha) \Delta T = \frac{\rho_1 a_0}{\rho_2} (\beta + \alpha) \Delta T = \frac{2.79 \times 20}{13.6} (1.8 \times 10^{-4} + 23 \times 10^{-6}) 50 = 0.4164 mm$<br /><br />Đáp án gần đúng nhất là 0.266 mm. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc đáp án.<br />