2) Trong mặt phǎng tọa độ Oxy ; cho hai hàm số y_(1)=sinx và v_(2)=cost Chứng minh rằng với mỗi giá trị dương của x thì tọa độ giao điểm của hai hàm số là số dương

Để chứng minh rằng với mỗi giá trị dương của \( x \) thì tọa độ giao điểm của hai hàm số \( y_1 = \sin x \) và \( y_2 = \cos x \) là số dương, ta cần tìm tọa độ giao điểm của hai hàm số này và kiểm tra xem nó có phải là số dương hay không.<br /><br />1. **Tìm tọa độ giao điểm:**<br /><br /> Tọa độ giao điểm của hai hàm số \( y_1 \) và \( y_2 \) là giá trị \( x \) mà tại đó \( y_1 = y_2 \). Do đó, ta cần giải phương trình:<br /> \[<br /> \sin x = \cos x<br /> \]<br /><br />2. **Giải phương trình:**<br /><br /> Phương trình trên có thể viết lại dưới dạng:<br /> \[<br /> \sin x = \cos x \implies \tan x = 1<br /> \]<br /><br /> Với \( \tan x = 1 \), ta có:<br /> \[<br /> x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})<br /> \]<br /><br /> Tuy nhiên, vì chúng ta chỉ xét các giá trị dương của \( x \), nên \( k = 0 \) là giá trị duy nhất thỏa mãn điều kiện này. Do đó:<br /> \[<br /> x = \frac{\pi}{4}<br /> \]<br /><br />3. **Kiểm tra tọa độ giao điểm:**<br /><br /> Thay \( x = \frac{\pi}{4} \) vào hai hàm số \( y_1 \) và \( y_2 \):<br /> \[<br /> y_1 = \sin \left( \frac{\pi}{4right) = \frac{\sqrt{2}}{2}<br /> \]<br /> \[<br /> y_2 = \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}<br /> \]<br /><br /> Tại \( x = \frac{\pi}{4} \), cả hai hàm số \( y_1 \) và \( y_2 \) đều có giá trị là \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), do đó tọa độ giao điểm là:<br /> \[<br /> \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)<br /> \]<br /><br />4. **Xét tính chất của tọa độ giao điểm:**<br /><br /> Giá trị \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) là một số dương. Do đó, tọa độ giao điểm của hai hàm số \( y_1 = \sin x \) và \( y_2 = \cos x \) với mỗi giá trị dương của \( x \) là một số dương.<br /><br />Vậy, ta đã chứng minh được rằng với mỗi giá trị dương của \( x \), tọa độ giao điểm của hai hàm số \( y_1 = \sin x \) và \( y_2 = \cos x \) là một số dương.