Bài 12. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tai A . Kẻ MN là tiếp tuyến của cả hai đường tròn với Min (O);Nin (O') : M khác N . Gọi P là điểm đối xứng với M qua 00 : Q là điểm đối xứng với N qua OO' Tiếp tuyến chung tại A của đường tròn (O) và (O') cắt MN tại B.cắt PQ tại C . Chứng minh rằng: a) MN=PQ b) PQ cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O') c) Tứ giác MNPQ là hình thang cân. d) B là trung điểm của MN .

a) Gọi \( E \) và \( F \) lần lượt là trung điểm của \( MO \) và \( NO' \). Do \( P \) là điểm đối xứng với \( M \) qua \( O \) và \( Q \) là điểm đối xứng với \( N \) qua \( O' \), nên \( OP = OM \) và \( O'Q = ON' \). Vì \( MO \) và \( NO' \) là bán kính của đường tròn \( (O) \) và \( (O') \) nên \( MO = NO' \). Từ đó suy ra \( OP = O'Q \). Vì \( E \) và \( F \) là trung điểm nên \( MN = 2EF \) và \( PQ = 2FQ \). Nhưng \( EF = FQ \) nên \( MN = PQ \).<br /><br />b) Vì \( PQ \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O') \) tại \( N \) và \( Q \) là điểm đối xứng với \( N \) qua \( O' \) nên \( PQ \) cũng là tiếp tuyến của đường tròn \( (O') \) tại \( Q \).<br /><br />c) Vì \( MN = PQ \) và \( M \) và \( N \) là điểm tiếp xúc của đường tròn \( (O) \) và \( (O') \) với tiếp tuyến \( MN \) nên \( MNPQ \) là hình thang cân.<br /><br />d) Vì \( B \) là giao điểm của tiếp tuyến chung và \( MN \) và \( B \) là trung điểm của \( MN \) nên \( B \) là trung điểm của \( MN \).