2) BT 3.3f) Tìm hàm u(x,y) thỏa phương : trình đạo hàm riêng e^2yu_(x)+xu_(y)=xu^2 (1) Và thỏa điều kiện: u(x,0)=e^x^(2) (2)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân rã hàm số. Đầu tiên, chúng ta giả định rằng \( u(x, y) \) có thể được phân rã thành hai hàm số \( u(x, y) = v(x)h(y) \). Khi đó, các đạo hàm riêng của \( u(x, y) \) sẽ là:<br /><br />\[<br />u_x = v'(x)h(y)<br />\]<br />\[<br />u_y = v(x)h'(y)<br />\]<br /><br />Thay các biểu thức này vào phương trình đạo hàm riêng đã cho, ta có:<br /><br />\[<br />e^{2y}v'(x)h(y) + xv(x)h'(y) = x(v(x)h(y))^2<br />\]<br /><br />Chia cả hai vế của phương trình cho \( xh(y) \) (với \( x \neq 0 \) và \( h(y) \neq 0 \)), ta được:<br /><br />\[<br />e^{2y} \frac{v'(x)}{v(x)} + \frac{h'(y)}{h(y)} = xh(y)<br />\]<br /><br />Gọi \( \mu(y) = \frac{h'(y)}{h(y)} \) và \( \nu(x) = \frac{v'(x)}{v(x)} \), phương trình trở thành:<br /><br />\[<br />e^{2y}\nu(x) + \mu(y) = xh(y)<br />\]<br /><br />Đây là một phương trình vi phân tuyến nhất với biến số \( y \). Giải phương trình này, ta có:<br /><br />\[<br />\mu(y) = C - e^{2y}\nu(x)<br />\]<br /><br />Trong đó \( C \) là hằng số tích phân. Thay \( \mu(y) \) và \( \nu(x) \) trở lại vào biểu thức ban đầu, ta được:<br /><br />\[<br />\frac{h'(y)}{h(y)} = C - e^{2y}\frac{v'(x)}{v(x)}<br />\]<br /><br />Tích phân hai vế, ta có:<br /><br />\[<br />\ln|h(y)| = Cy - e^{2y}\ln|v(x)| + \ln|A|<br />\]<br /><br />Trong đó \( A \) là hằng số tích phân. Loại bỏ các logarithm, ta có:<br /><br />\[<br />h(y) = e^{-Cy} v(x)^{-e^{2y}}<br />\]<br /><br />Với \( A' \) là hằng số mới. Thay \( h(y) \) trở lại vào biểu thức ban đầu, ta có:<br /><br />\[<br />u(x, y) = v(x)h(y) = A' v(x) e^{-Cy} v(x)^{-e^{2y}} = A' v(x)^{1 - e^{2y}} e^{-Cy}<br />\]<br /><br />Cuối cùng, sử dụng điều kiện ban đầu \( u(x, 0) = e^{x^2} \), ta có:<br /><br />\[<br />A' e^{x^2} = e^{x^2}<br />\]<br /><br />Từ đó suy ra \( A' = 1 \). Vậy hàm \( u(x, y) \) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng và điều kiện ban đầu là:<br /><br />\[<br />u(x, y) = e^{x^2} e^{-Cy} v(x)^{1 - e^{2y}}<br />\]<br /><br />Với \( C \) là hằng số tùy ý.