Bài 4. (3,0 điểm): Cho đường tròn (O) bán kính R(Rgt 0) và dây cung BC cố định. Một điểm A chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Kẻ các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H và BE cắt đường tròn (o) tại F (F khác B). 1. Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp và Delta AHF cân. 2. Kẻ đường kính AM của đường tròn (O) và OI vuông góc với BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của HM và tính AF biết BC=Rsqrt (3) 3. Khi BC cố định, xác định vị trí của A trên đường tròn (O) để DH.DA lớn nhất.

Đáp án:<br /><br />1. Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp và $\Delta AHF$ cân.<br /> - Để chứng minh tứ giác DHEC nội tiếp, ta cần chứng ming rằng tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 độ.<br /> - Góc DEC = 90 độ (vì BE là đường cao của tam giác ABC)<br /> - Góc DHE = 90 độ (vì AD là đường cao của tam giác ABC)<br /> - Vậy tổng hai góc đối diện của tứ giác DHEC là 180 độ, nên tứ giác DHEC là nội tiếp.<br /> - Để chứng minh $\Delta AHF$ cân, ta cần chứng minh AH = HF.<br /> - Vì BE là đường cao của tam giác ABC, nên BE vuông góc với AC.<br /> - Vì $\Delta ABC$ có ba góc nhọn, nên $\Delta AHF$ cũng có ba góc nhọn.<br /> - Trong $\Delta AHF$, góc AHF = 90 độ (vì BE vuông góc với AC).<br /> - Vậy $\Delta AHF$ là tam giác vuông cân, nên AH = HF.<br /><br />2. Kẻ đường kính AM của đường tròn (O) và OI vuông góc với BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của HM và tính AF biết $BC=R\sqrt {3}$.<br /> - Vì OI vuông góc với BC, nên OI là trung đường của tam giác ABC.<br /> - Vì AM là đường kính của đường tròn (O), nên AM vuông góc với BC.<br /> - Vì AM vuông góc với BC và OI vuông góc với BC, nên AM và OI cắt nhau tại I, và I là trung điểm của HM.<br /> - Biết $BC=R\sqrt {3}$, ta có thể tính được AF như sau:<br /> - Trong $\Delta ABC$, $AB=BC=R\sqrt {3}$<br /> - Trong $\Delta AHF$, $AH=AF$, vì $\Delta AHF$ cân.<br /> - Vậy $AF=\frac{AB}{2}=\frac{R\sqrt {3}}{2}$.<br /><br />3. Khi BC cố định, xác định vị trí của A trên đường tròn $(O)$ để DH.DA lớn nhất.<br /> - Để DH.DA đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm vị trí của A sao cho DH và DA vuông góc với nhau.<br /> - Khi DH và DA vuông góc, thì $\Delta ADH$ là tam giác vuông.<br /> - Vì $\Delta ABC$ có ba góc nhọn, nên $\Delta ADH$ cũng có ba góc nhọn.<br /> - Vậy vị trí của A trên đường tròn (O) để DH.DA lớn nhất là khi $\Delta ADH$ là tam giác vuông, tức là khi A nằm trên đường kính của đường tròn (O).