Tinh công sinh ra do trường lực F(x,y)=(e^x-7y^2)i+(e^y+7x^2)j tác động lên vật làm vật di chuyến một vòng kin dọc theo biên của miền phẳng D giới hạn bởi các đường y=x,y=x^2 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. Giai. Áp dụng Định lý Green ta có W=oint Fcdot dR=int square ^square dA Tiếp tục tính toán ta có W=int _(x_(1))^x_(1)y_(1)(x) (chú ý thứ tự lấy tích phân để viết đúng cận lấy tích phân). trong đó x_(1)= x_(1)= y_(2)=square _(1)(x)=square _(1)(x)=

Công sinh ra do trường lực $\mathbf{F}(x,y) = (e^x - 7y^2)\mathbf{i} + (e^y + 7x^2)\mathbf{j}$ tác động lên vật làm vật di chuyển một vòng kín dọc theo biên của miền phẳng D giới hạn bởi các đường $y = x$ và $y = x^2$ theo hướng ngược chiều kim đồng hồ được tính bằng định lý Green.<br /><br />Định lý Green phát biểu rằng: $\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$, với $\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j}$.<br /><br />Trong trường hợp này, $P(x,y) = e^x - 7y^2$ và $Q(x,y) = e^y + 7x^2$. Do đó:<br /><br />$\frac{\partial P}{\partial y} = -14y$<br />$\frac{\partial Q}{\partial x} = 14x$<br /><br />Vậy, công W được tính bởi:<br /><br />$W = \iint_D (14x - (-14y)) dA = \iint_D (14x + 14y) dA = 14 \iint_D (x+y) dA$<br /><br />Miền D được giới hạn bởi $y = x$ và $y = x^2$. Các đường giao nhau tại (0,0) và (1,1). Do đó, cận tích phân là:<br /><br />$0 \le x \le 1$<br />$x^2 \le y \le x$<br /><br />Vậy tích phân trở thành:<br /><br />$W = 14 \int_0^1 \int_{x^2}^x (x+y) dy dx$<br /><br />Tính tích phân bên trong:<br /><br />$\int_{x^2}^x (x+y) dy = [xy + \frac{1}{2}y^2]_{x^2}^x = x^2 + \frac{1}{2}x^2 - x^3 - \frac{1}{2}x^4 = \frac{3}{2}x^2 - x^3 - \frac{1}{2}x^4$<br /><br />Bây giờ tính tích phân ngoài:<br /><br />$W = 14 \int_0^1 (\frac{3}{2}x^2 - x^3 - \frac{1}{2}x^4) dx = 14 [\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{10}x^5]_0^1 = 14 (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10}) = 14 (\frac{10 - 5 - 2}{20}) = 14 (\frac{3}{20}) = \frac{21}{10}$<br /><br />Vậy công sinh ra là $\frac{21}{10}$ đơn vị công.<br /><br /><br />Tóm lại:<br /><br />$W = \int_0^1 \int_{x^2}^x (14x + 14y) dy dx$<br /><br />$x_1 = 0$<br />$x_2 = 1$<br />$y_1(x) = x$<br />$y_2(x) = x^2$<br />