Câu 1. Cho hình binh hành ABCD tâm O. Gọi G là trọng tâm Delta OBC và M là điểm trên cạnh AD sao cho MD=2MA . Biết rằng tồn tại duy nhất hai số thực x; y sao cho overrightarrow (MG)=xoverrightarrow (AB)+yoverrightarrow (AD) . Tính 5x+11y

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về hình bình hành và trọng tâm của tam giác. Gọi \( O \) là giao điểm của các đường chéo \( AC \) và \( BD \) của hình bình hành \( ABCD \). Vì \( G \) là trọng tâm của \( \Delta OBC \), nên \( OG = \frac{2}{3}OC \).<br /><br />Vì \( M \) là điểm trên cạnh \( AD \) sao cho \( MD = 2MA \), ta có \( AM = \frac{1}{3}AD \) và \( MD = \frac{2}{3}AD \).<br /><br />Bây giờ, chúng ta biểu diễn vector \( \overrightarrow{MG} \) dưới dạng tổ hợp tuyến tính của \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AD} \):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{MG} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD}<br />\]<br /><br />Chúng ta biết rằng \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \) và \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \). Do đó, ta có:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{MG} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{DC} + y\overrightarrow{BC}<br />\]<br /><br />Để tìm \( x \) và \( y \), chúng ta cần sử dụng tính chất của trọng tâm. Trọng tâm của một tam giác chia đoạn nối giữa hai đỉnh thành tỉ lệ 2:1, với đoạn dài hơn là đoạn nối từ trọng tâm đến đỉnh còn lại.<br /><br />Vì vậy, ta có:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{OG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OC}<br />\]<br /><br />Nhưng \( \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \), nên:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{OG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}<br />\]<br /><br />Do đó, \( x = \frac{2}{3} \).<br /><br />Tương tự, vì \( M \) chia \( AD \) theo tỉ lệ 1:2, ta có:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{OM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OD}<br />\]<br /><br />Nhưng \( \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BC} \), nên:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{OM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}<br />\]<br /><br />Do đó, \( y = \frac{1}{3} \).<br /><br />Cuối cùng, ta tính \( 5x + 11y \):<br /><br />\[<br />5x + 11y = 5 \left( \frac{2}{3} \right) + 11 \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{10}{3} + \frac{11}{3} = \frac{21}{3} = 7<br />\]<br /><br />Vậy, \( 5x + 11y = 7 \).