Tính công sinh ra do trường lực F(x,y)=(3x+5y)i+(-4x-4y)j tác động lên vật làm vật di chuyên từ O(0,0) đến A(3,9) dọc theo (a) C_(1) là đoạn thǎng O với A. (b) C_(2) là cung parabol y=x^2 (a) Bằng cách tham số đoạn OA bởi x=3t,y=9t,tin [0,1] , thay vào tích phân ta tính được công trong trường hợp này là: W_(1)=int _(C_(1))Fcdot dR=int _(0)^1square dt= (b) Bằng cách tham số cung C_(2) bởi x=t,y=t^2,tin [0,1] , thay vào tích phân ta tính được công trong trường hợp này là W_(1)=int _(C_(2))Fcdot dR=int _(0)^1dd=

Để tính công sinh ra do trường lực \( F(x,y) = (3x + 5y)i + (-4x - 4y)j \) tác động lên vật khi vật di chuyển từ điểm \( O(0,0) \) đến điểm \( A(3,9) \) dọc theo các đường khác nhau, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tính tích phân dọc theo các đường này.<br /><br />### (a) Dọc theo đoạn thẳng \( C_1 \) từ \( O \) đến \( A \)<br /><br />Đoạn thẳng \( C_1 \) có thể tham số hóa bằng cách sử dụng \( x = 3t \) và \( y = 9t \) với \( t \in [0, 1] \).<br /><br />1. **Tính đạo hàm của \( R(t) \):**<br /><br /> \[<br /> R(t) = (3t)i + (9t)j<br /> \]<br /><br /> \[<br /> dR = (3)i \, dt \, i + (9) \, dt j<br /> \]<br /><br />2. **Tính lực \( F \) trên đường cong \( C_1 \):**<br /><br /> \[<br /> F(R(t)) = (3(3t) + 5(9t))i + (-4(3t) - 4(9t))j<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = (9t + 45t)i + (-12t - 36t)j<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = (54t)i + (-48t)j<br /> \]<br /><br /> **Tính tích phân dọc theo \( C_1 \):**<br /><br /> \[<br /> W_1 = \int_{C_1} F \cdot dR = \int_0^1 (54t)i + (-48t)j \cdot (3i + 9j) \, dt<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \int_0^1 (54t \cdot 3 + (-48t) \cdot 9) \, dt<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \int_0^1 (162t - 432t) \, dt<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \int_0^1 (-270t) \, dt<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = -270 \int_0^1 t \, dt<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = -270 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = -270 \left( \frac{1}{2} - 0 \right)<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = -135<br /> \]<br /><br />Vậy công trong trường hợp này là \( W_1 = -135 \).<br /><br />### (b) Dọc theo cung parabol \( C_2 \)<br /><br />Cung \( C_2 \) có thể tham số hóa bằng cách sử dụng \( x = t \) và \( y = t^2 \) với \( t \in [0, 1] \).<br /><br />1. **Tính đạo hàm của \( R(t) \):**<br /><br /> \[<br /> R(t) = (t)i + (t^2)j<br /> \]<br /><br /> \[<br /> dR = i \, dt + (2t) \, dt \, j<br /> \]<br /><br />2. **Tính lực \( F \) trên đường cong \( C_2 \):**<br /><br /> \[<br /> F(R(t)) = (3t + 5t^2)i + (-4t - 4t^2)j<br /> \]<br /><br />3. **Tính tích phân dọc theo \( C_2 \):**<br /><br /> \[<br /> W_2 = \int_{C_2} F \cdot dR = \int_0^1 (3t + 5t^2)i + (-4t - 4t^2)j \cdot (i + 2t \, j) \, dt<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \int_0^1 (3t + 5t^2) \cdot 1 + (-4t - 4t^2) \cdot 2t \, dt<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \int_0^1 (3t + 5t^2 - 8t^2 - 8t^3) \, dt<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \int_0^1 (3t - 3t^2 - 8t^3) \, dt<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = 3 \int_0^1 t \, dt - 3 \int_0^1 t^2 \, dt - 8 \int_0^1