Tính công sinh ra do trường luc F(x,y)=(c^x-8y^2)i+(e^y+8x^2)j tác déng lên vật làm vật di chuyển một vòng kín dọc theo biến của miền phẳng D giới hạn bởi các dường y=x,y=x^2 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. Giải. Áp dụng Định lý Green ta có W=oint _(C)Fcdot dR=iint _(D)^int _(D)dd Tiếp tục tính toán ta có W=int _(x_(1)^2y_(1)(x))^x_(1(x))dydx= (chú ý thứ tự lấy tích phân để viết đúng cận lấy tích phân), trong dó x_(1)= x_(1)= x_(1)= x_(1)= x_(1)= x_(1)= x_(1)=

Để tính công sinh ra do trường lực \( F(x,y) = (e^x - 8y^2)i + (e^y + 8x^2)j \) tác động lên vật làm vật di chuyển một vòng kín dọc theo biên của miền phẳng \( D \) giới hạn bởi các đường \( y = x \), \( y = x^) theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, ta áp dụng Định lý Green:<br /><br />\[ W = \oint_{C} F \cdot dR = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA \]<br /><br />Trong đó, \( P = e^x - 8y^2 \) và \( Q = e^y + 8x^2 \).<br /><br />Tính đạo hàm riêng:<br /><br />\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^y + 8x^2) = 16x \]<br />\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^x - 8y^2) = -16y \]<br /><br />Do đó,<br /><br />\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 16x + 16y = 16(x + y) \]<br /><br />Bây giờ, ta tính tích phân kép:<br /><br />\[ W = \iint_{D} 16(x + y) \, dA \]<br /><br />Miền \( D \) được giới hạn bởi \( y = x \) và \( y = x^2 \). Ta cần xác định giới hạn tích phân. Khi \( y = x \), \( x = y \). Khi \( y = x^2 \), \( x = \sqrt{y} \).<br /><br />Vậy, ta có:<br /><br />\[ W = \int_{0}^{1} \int_{y}^{\sqrt{y}} 16(x + y) \, dx \, dy \]<br /><br />Tính tích phân bên trong:<br /><br />\[ \int_{y}^{\sqrt{y}} 16(x + y) \, dx = 16 \left[ x^2 + yx \right]_{y}^{\sqrt{y}} \]<br />\[ = 16 \left( (\sqrt{y})^2 + y\sqrt{y} - (y^2 + y^2) \right) \]<br />\[ = 16 \left( y + y^{3/2} - 2y^2 \right) \]<br /><br />Tính tích phân bên ngoài:<br /><br />\[ W = \int_{0}^{1} 16 \left( y + y^{3/2} - 2y^2 \right) \, dy \]<br />\[ = 16 \left( \int_{0}^{1} y \, dy + \int_{0}^{1} y^{3/2} \, dy - 2 \int_{0}^{1} y^2 \, dy \right) \]<br /><br />Tính từng phần:<br /><br />\[ \int_{0}^{1} y \, dy = \left. \frac{y^2}{2} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \]<br />\[ \int_{0}^{1} y^{3/2} \, dy = \left. \frac{y^{5/2}}{\frac{5}{2}} \right|_{0}^{1} = \frac{2}{5} \]<br />\[ 2 \int_{0}^{1} y^2 \, dy = 2 \left. \frac{y^3}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{2}{3} \]<br /><br />Kết hợp lại:<br /><br />\[ W = 16 \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{5} - \frac{2}{3} \right) \]<br />\[ = 16 \left( \frac{15}{30} + \frac{12}{30} - \frac{20}{30} \right) \]<br />\[ = 16 \left( \frac{7}{30} \right) \]<br />\[ = \frac{112}{30} \]<br />\[ = \frac{56}{15} \]<br /><br />Vậy, công sinh ra là \( \boxed{\frac{56}{15}} \).