Câu 4: Cho hai đường tròn (O;R) và (O';r) với R >engoài nhau . Gọi MN là tiếp tuyến của cả hai đường tròn (M thuộc (O) , N thuộc (O')) với M và N nằm cùng phía đối với OO' Gọi I là giao điểm của MN và OO' Ti số (10)/(10') tính theo R và r là A. (R)/(r) B. (R)/(2r) C. (2R)/(r) D. (Rsqrt (2))/(r)

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng một số tính chất của đường tròn và tiếp tuyến. Gọi \( A \) và \( B \) là các điểm mà \( MN \) tiếp xúc với hai đường tròn \( (O; R) \) và \( (O'; r) \) tương ứng.<br /><br />Theo định lý về tiếp tuyến của đường tròn, ta có:<br />\[ MA \cdot MB = r^2 - R^2 \]<br /><br />Vì \( M \) và \( N \) nằm cùng phía đối với \( OO' \), nên \( MA = MI \) và \( MB = NI \). Do đó:<br />\[ MI \cdot NI = r^2 - R^2 \]<br /><br />Tiếp theo, chúng ta cần tìm mối quan hệ giữa \( MI \) và \( NI \) với \( R \) và \( r \). Để làm điều này, chúng ta sử dụng tính chất của tam giác vuông. Gọi \( OI \) là khoảng cách từ tâm \( O \) đến đường thẳng \( MN \), ta có:<br /><br />\[ MI = \sqrt{OI^2 - R^2} \]<br />\[ NI = \sqrt{OI^2 - r^2} \]<br /><br />Do \( OI \) là khoảng cách từ tâm \( O \) đến đường thẳng \( MN \), nên \( OI \) cũng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( OIN \). Vì vậy, ta có:<br /><br />\[ OI = \frac{Rr}{R + r} \]<br /><br />Thay vào các biểu thức trên, ta được:<br /><br />\[ MI = \sqrt{\left(\frac{Rr}{R + r}\right)^2 - R^2} \]<br />\[ NI = \sqrt{\left(\frac{Rr}{R + r}\right)^2 - r^2} \]<br /><br />Sau khi tính toán, ta thu được:<br /><br />\[ MI = \frac{Rr}{\sqrt{(R + r)^2 - R^2}} \]<br />\[ NI = \frac{Rr}{\sqrt{(R + r)^2 - r^2}} \]<br /><br />So sánh hai biểu thức này, ta thấy rằng:<br /><br />\[ \frac{MI}{NI} = \frac{\sqrt{(R + r)^2 - r^2}}{\sqrt{(R + r)^2 - R^2}} = \frac{R}{r} \]<br /><br />Vậy tỉ số \(\frac{10}{10'}\) tính theo \( R \) và \( r \) là:<br /><br />\[ \boxed{\frac{R}{r}} \]<br /><br />Do đó, đáp án đúng là A.