Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB//CD;ABlt CD) có AC và BD cắt nhau tại O hai tia DA và CB cắt nhau tai K. Tia KO cắt AB tại E,cắt DC tại H a) Chứng minh Delta AOBbacksim Delta COD b) Chứng minh AE. HC=EB.DH c) Tính tỉ số (AE)/(AB) b) CMR: EC AC+EBcdot BF=BC^2

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ chứng minh từng phần một theo thứ tự.<br /><br />### Phần a: Chứng minh \(\Delta AOB \backsim \Delta COD\)<br /><br />1. **Góc cùng chỗ**: Vì \(AB // CD\) và \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\), ta có \(\OB = \angle COD\) (góc cùng chỗ khi hai đường thẳng cắt bởi một đường chéo).<br /><br />2. **Góc nội tiếp**: Vì \(AB // CD\) và \(AD\) cắt \(BC\) tại \(K\), ta có \(\angle DAB = \angle DCB\) (góc nội tiếp).<br /><br />3. **Tỷ số cạnh tương ứng**: Vì \(AB // CD\) và \(AC\) cắt \(BD\) tại \(O\), ta có \(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}\) (tỷ số cạnh tương ứng khi hai đường thẳng cắt bởi một đường chéo).<br /><br />Từ ba điều kiện trên, ta có \(\Delta AOB \backsim \Delta COD\) (các góc tương ứng bằng nhau và tỷ số cạnh tương ứng bằng nhau).<br /><br />### Phần b: Chứng minh \(AE \cdot HC = EB \cdot DH\)<br /><br />Do \(\Delta AOB \backsim \Delta COD\), ta có:<br /><br />\[<br />\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD}<br />\]<br /><br />Xét tia \(KO\) cắt \(AB\) tại \(E\) và \(DC\) tại \(H\):<br /><br />- Vì \(K\) là trung điểm của \(AD\) và \(BC\), nên \(KE\) là trung đường của \(\Delta AOD\) và \(KD\) là trung đường của \(\Delta BOC\).<br /><br />- Do đó, \(AE = \frac{1}{2}AB\) và \(BH = \frac{1}{2}BC\).<br /><br />Từ đó, ta có:<br /><br />\[<br />AE \cdot HC = \left(\frac{1}{2}AB\right) \cdot \left(\frac{1}{2}BC\right) = \frac{1}{4}AB \cdot BC<br />\]<br /><br />Và:<br /><br />\[<br />EB \cdot DH = \left(\frac{1}{2}BC\right) \cdot \left(\frac{1}{2}CD\right) = \frac{1}{4}BC \cdot CD<br />\]<br /><br />Nhưng \(AB // CD\) nên \(AB = CD\), do đó:<br /><br />\[<br />\frac{1}{4}AB \cdot BC = \frac{1}{4}BC \cdot CD<br />\]<br /><br />Suy ra:<br /><br />\[<br />AE \cdot HC = EB \cdot DH<br />\]<br /><br />### Phần c: Tính tỉ số \(\frac{AE}{AB}\)<br /><br />Vì \(AE = \frac{1}{2}AB\) (như đã chứng minh ở phần b), nên:<br /><br />\[<br />\frac{AE}{AB} = \frac{\frac{1}{2}AB}{AB} = \frac{1}{2}<br />\]<br /><br />### Phần d: Chứng minh \(EC \cdot AC + EB \cdot BF = BC^2\)<br /><br />Chúng ta đã biết \(AE = \frac{1}{2}AB\) và \(EB = \frac{1}{2}BC\). <br /><br />Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta BEC\):<br /><br />- Trong \(\Delta AEC\), \(AE = \frac{1}{2}AB\) và \(AC = AB + BC\).<br /><br />- Trong \(\Delta BEC\), \(EB = \frac{1}{2}BC\) và \(BC = BE + EC\).<br /><br />Do đó:<br /><br />\[<br />EC \cdot AC = EC \cdot (AB + BC) = \left(\frac{1}{2}BC\right) \cdot (AB + BC)<br />\]<br /><br />Và:<br /><br />\[<br />EB \cdot BF = \left(\frac{1}{2}BC\right) \cdot BF<br />\]<br /><br />Tổng hợp lại:<br /><br />\[<br />EC \cdot AC + EB \cdot BF = \left(\frac{1}{2}BC\rightcdot (AB + BC) + \left(\frac{1}{2}BC\right) \cdot BF<br />\]<br /><br />Nhưng \(AB = BF\) (vì \(AB // CD\) và \(AD\) cắt \(BC\) tại \(F\)), nên:<br /><br />\[<br />EC \cdot AC + EB \cdot BF = \left(\frac{1}{2}BC\right) \cdot (AB + BC) + \left(\frac{1}{2}BC\right) \cdot AB<br />\]<br /><br />Suy ra:<br /><br />\[<br />EC \cdot AC + EB \cdot BF = \left(\frac{1}{2}BC\right) \