Bài 8. Cho tam giác ABC. Kẻ AHbot BC(Hin BC) a) Chứng minh AHlt (AB+AC)/(2) b) Kẻ BKbot AC(Kin AC),CIbot AB(Iin AB) . Chứng minh tổng (AH+BK+CI) nhỏ hơn chu vi A ABC.

a) Theo định lý về đường cao trong tam giác, ta có: \( AH \times HC = BH \times AC \). Từ đó, ta có \( AH = \frac{BH \times AC}{HC} \). Vì \( BH \leq \frac{AB + AC}{2} \) (theo bất đẳng thức trung bình hình thang), nên \( AH \leq \frac{AB + AC}{2} \). b) Theo định lý Pythagoras, ta có \( AH^2 = BH \times HC \), \( BK^2 = CK \times AC \), và \( CI^2 = DI \times AB \). Từ đó, ta có \( AH + BK + CI \leq \sqrt{BH \times HC} + \sqrt{CK \times AC} + \sqrt{DI \times AB} \). Vì \( BH + CK + DI \leq BC \) (tổng chiều dài của ba đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng), nên \( AH + BK + CI \leq \frac{AB + AC + BC}{2} \), tức là tổng \( AH + BK + CI \) nhỏ hơn chu vi của tam giác ABC.