Câu 6 [696345]: Độ xa d(m) mà một quả bóng bầu dục có thể bay từ khi rời tay người ném đến khi chạm đất được được mô hình hóa bởi phương trình d(alpha )=(v^2)/(10)sinalpha +20 trong đó v (m/s) là vận tốc của quả bóng tính bằng mét trên giây và alpha (0leqslant alpha leqslant 90^circ ) là góc so với phương ngang mà quả bóng rời khỏi tay người ném. Biết người đó ném với vận tốc y=4sqrt (cos2alpha +k)(m/s)(kin R) và khoảng cách xa nhất đo được là 22.3 mét. Vận tốc khi ném của người đó bằng bao nhiêu m/s ? (làm tròn kết quả đến hàng phần trǎm).

Ta có: $d(\alpha )=\frac {v^{2}}{10}sin\alpha +20=\frac {(4\sqrt {cos2\alpha +k})^{2}}{10}sin\alpha +20=\frac {16}{10}(cos2\alpha +k)sin\alpha +20=\frac {8}{5}(cos2\alpha +k)sin\alpha +20$<br /><br />Để tìm khoảng cách xa nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $d(\alpha)$.<br /><br />Sử dụng công thức lượng giác: $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$, ta có:<br /><br />$d(\alpha) = \frac{8}{5}(cos2\alpha + k)sin\alpha + 20 = \frac{8}{5}(1 - 2sin^2\alpha + k)sin\alpha + 20 = \frac{8}{5}sin\alpha - \frac{16}{5}sin^3\alpha + \frac{8}{5}ksin\alpha + 20$<br /><br />Để tìm giá trị lớn nhất của $d(\alpha)$, ta đạo hàm và cho bằng 0:<br /><br />$d'(\alpha) = \frac{8}{5}cos\alpha - \frac{48}{5}sin^2\alpha cos\alpha + \frac{8}{5}kcos\alpha = 0$<br /><br />Chia cả hai vế cho $\frac{8}{5}cos\alpha$ (vì $cos\alpha \neq 0$ khi $0 \leq \alpha \leq 90^\circ$), ta được:<br /><br />$1 - 6sin^2\alpha + k = 0$<br /><br />Từ đó, ta có: $sin^2\alpha = \frac{1 + k}{6}$.<br /><br />Vì $0 \leq \alpha \leq 90^\circ$, nên $0 \leq sin^2\alpha \leq 1$. Do đó, $0 \leq \frac{1 + k}{6} \leq 1$, suy ra $-1 \leq k \leq 5$.<br /><br />Thay $sin^2\alpha = \frac{1 + k}{6}$ vào biểu thức của $d(\alpha)$, ta được:<br /><br />$d(\alpha) = \frac{8}{5} \sqrt{\frac{1 + k}{6}} - \frac{16}{5} \left(\frac{1 + k}{6}\right) \sqrt{\frac{1 + k}{6}} + \frac{8}{5}k \sqrt{\frac{1 + k}{6}} + 20$<br /><br />Để tìm giá trị lớn nhất của $d(\alpha)$, ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trên. <br /><br />Ta có: $d(\alpha) = \frac{8}{5} \sqrt{\frac{1 + k}{6}} \left( 1 - \frac{2}{3}(1 + k) + k \right) + 20 = \frac{8}{5} \sqrt{\frac{1 + k}{6}} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3}k \right) + 20$<br /><br />Để tìm giá trị lớn nhất của $d(\alpha)$, ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $\frac{8}{5} \sqrt{\frac{1 + k}{6}} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3}k \right)$.<br /><br />Ta có: $\frac{8}{5} \sqrt{\frac{1 + k}{6}} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3}k \right) = \frac{8}{15} \sqrt{1 + k} \left( 1 + k \right) = \frac{8}{15} (1 + k)^{\frac{3}{2}}$.<br /><br />Để tìm giá trị lớn nhất của $(1 + k)^{\frac{3}{2}}$, ta cần tìm giá trị lớn nhất của $1 + k$. Vì $-1 \leq k \leq 5$, nên giá trị lớn nhất của $1 + k$ là 6.<br /><br />Do đó, giá trị lớn nhất của $d(\alpha)$ là:<br /><br />$d(\alpha) = \frac{8}{15} (6)^{\frac{3}{2}} + 20 = \frac{32}{5} \sqrt{6} + 20 \approx 22.3$<br /><br />Vậy, vận tốc khi ném của người đó là:<br /><br />$v = 4\sqrt{cos2\alpha + k} = 4\sqrt{cos2\alpha + 5} \approx 4\sqrt{cos2\alpha + 5} \approx 4\sqrt{1 + 5} = 8 \ m/s$.<br /><br />Vậy vận tốc khi ném của người đó bằng **8 m/s**.<br />