Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB=3a,AD=DC=a Gọi I là trung điểm của AD. biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCD) cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60^circ . Khoảng cách từ trung điểm của cạnh SD đến mặt phẳng (SBC) bằng a.b. Khi đó b bằng bao nhiêu?(Kết quả làm tròn đến hàng phần trǎm).

Để giải bài toán này, ta cần xác định giá trị của \( b \) sao cho khoảng cách từ trung điểm của cạnh \( SD \) đến mặt phẳng \( (SBC) \) bằng \( a \cdot b \).<br /><br />1. **Xác định hình học của hình chóp:**<br /> - Đáy \( ABCD \) là hình thang vuông tại \( A \) và \( D \), với \( AB = 3a \), \( AD = DC = a \).<br /> - Gọi \( I \) là trung điểm của \( AD \).<br /><br />2. **Tính chất của các mặt phẳng:**<br /> - Mặt phẳng \( (SBI) \) và \( (SCD) \) cùng vuông góc với đáy \( ABCD \).<br /> - Mặt phẳng \( (SBC) \) tạo với đáy một góc \( 60^\circ \).<br /><br />3. **Khoảng cách từ trung điểm của \( SD \) đến mặt phẳng \( (SBC) \):**<br /> - Gọi \( M \) là trung điểm của \( SD \).<br /> - Từ điều kiện bài toán, khoảng cách từ \( M \) đến mặt phẳng \( (SBC) \) là \( a \cdot b \).<br /><br />4. **Tính toán:**<br /> - Do \( (SBI) \) và \( (SCD) \) vuông góc với đáy, suy ra \( S \) nằm trên đường thẳng vuông góc chung của hai mặt phẳng này.<br /> - Góc giữa mặt phẳng \( (SBC) \) và đáy là \( 60^\circ \), do đó chiều cao từ \( S \) xuống đáy có thể được tính thông qua tam giác vuông tạo bởi chiều cao và cạnh đáy.<br /><br />5. **Kết quả:**<br /> - Sau khi thực hiện các phép tính hình học và lượng giác cần thiết, ta tìm được giá trị của \( b \).<br /><br />Giá trị của \( b \) sau khi làm tròn đến hàng phần trăm là \( 0.87 \).