4. Một hãng có hàm lợi nhuận là pi =P.Q(L)-C(L) với P là đơn giá bán, Q(L)=100sqrt (L) là hàm sản xuất và C(L)=2500L+1000 là hàm chi phí , và L là lượng lao động. a. Khi P=200 , hãy tìm L để hãng này có lợi nhuận tối đa. b. Khi L tǎng thêm 1% thì mức sản lượng của hãng tǎng (hay giảm) bao nhiêu phân trǎm?

Để giải quyết các phần của câu hỏi này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:<br /><br />### Phần a: Tìm L để hãng có lợi nhuận tối đa khi \( P = 200 \)<br /><br />1. **Viết lại hàm lợi nhuận với \( P = 200 \):**<br /> \[<br /> \pi = 200 \cdot Q(L) - C(L)<br /> \]<br /> Với \( Q(L) = 100\sqrt{L} \) và \( C(L) = 2500L + 1000 \), ta có:<br /> \[<br /> \pi = 200 \cdot 100\sqrt{L} - (2500L + 1000)<br /> \]<br /> \[<br /> \pi = 20000\sqrt{L} - 2500L - 1000<br /> \]<br /><br />2. **Tìm đạo hàm của hàm lợi nhuận và đặt nó bằng 0 để tìm giá trị cực đại:**<br /> \[<br /> \frac{d\pi}{dL} = \frac{d}{dL}(20000\sqrt{L} - 2500L - 1000)<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{d\pi}{dL} = 10000 \cdot \frac{1}{\sqrt{L}} - 2500<br /> \]<br /> Đặt \(\frac{d\pi}{dL} = 0\):<br /> \[<br /> 10000 \cdot \frac{1}{\sqrt{L}} - 2500 = 0<br /> \]<br /> \[<br /> 10000 \cdot \frac{1}{\sqrt{L}} = 2500<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{10000}{\sqrt{L}} = 2500<br /> \]<br /> \[<br /> \sqrt{L} = \frac{10000}{2500}<br /> \]<br /> \[<br /> \sqrt{L} = 4<br /> \]<br /> \[<br /> L = 16<br /> \]<br /><br />Vậy, khi \( P = 200 \), lượng lao động \( L \) để hãng có lợi nhuận tối đa là \( L = 16 \).<br /><br />### Phần b: Tính phần trăm tăng thêm của sản lượng khi \( L \) tăng thêm 1%<br /><br />1. **Tính đạo hàm của \( Q(L) \):**<br /> \[<br /> Q(L) = 100\sqrt{L}<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{d 100 \cdot \frac{1}{2\ \frac{50}{\sqrt{L}}<br /> \]<br /><br />2. **Tính đạo hàm của \( C(L) \):**<br /> \[<br /> C(L) = 2500L + 1000<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{dC}{dL} = 2500<br /> \]<br /><br />3. **Tính đạo hàm của hàm lợi nhuận \(\pi\):**<br /> \[<br /> \pi = P \cdot Q(L) - C(L)<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{d\pi}{dL} = P \cdot \frac{dQ}{dL} - \frac{dC}{dL}<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{d\pi}{dL} = 200 \cdot \frac{50}{\sqrt{L}} - 2500<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{d\dL} = \frac{10000}{\sqrt{L}} - 2500<br /> \]<br /><br />4. **Tính giá trị của \(\frac{d\pi}{dL}\) tại \( L = 16 \):**<br /> \[<br /> \frac{d\pi}{dL} = \frac{10000}{\sqrt{16}} - 2500<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{d\pi}{dL} = \frac{10000}{4} - 2500<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{d\pi}{dL} = 2500 - 2500<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{d\pi}{dL} = 0<br /> \]<br /><br />Vì \(\frac{d\pi}{dL} = 0\) tại \( L = 16 \), điều này cho thấy khi \( L \) tăng thêm 1%, sản lượng \( Q(L) \) không thay đổi. Do đó, mức tăng thêm của sản lượng là 0%.<br /><br />Tóm lại:<br />- Khi \( P = 200 \), lượng lao động \( L \) để hãng có lợi nhuận tối đa là \( L = 16 \).<br />- Khi \( L \) tăng thêm 1%, mức tăng thêm của sản lượng là