Câu 17(2,5 điểm).Cho đường tròn (O;R) và MN là đường kính cô định của (O). Đường thẳng d là tiếp tuyến của (0) tại N. AB là đường kính thay đổi của (0) sao cho AB không vuông góc với MN (A khác M,N). Các đường thẳng MA, NB cắt d tương ứng tại D và E . Gọi H là trung điếm của DE và I là giao điểm của MH và AB. Khi AB thay đổi, chứng minh rǎng: a) BMbot BN b) ND.NE=MB.ME c) Điểm I luôn thuộc một đường tròn cố đinh Activate Go to Sett

a) Vì AB là đường kính thay đổi của (O) nên \( \angle MAB = 90^{\circ} - \angle AMB \). Vì MN là đường kính cố định của (O) nên \( \angle MNB = 90^{\circ} \). Do đó, \( \angle AMB + \angle MNB = 90^{\circ} \) và \( \angle AMB = \angle MNB \). Từ đó suy ra \( \angle AMB = 45^{\circ} \). Vì vậy, \( \angle MBN = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Nhưng \( \angle MBN \) là góc ngoại tiếp của tam giác vuông MBN nên \( BM \perp BN \).<br /><br />b) Vì d là tiếp tuyến của (O) tại N nên \( \angle NDE = \angle NMB \). Vì AB là đường kính thay đổi của (O) nên \( \angle NMB = \angle NAB \). Do \( \angle NDE = \angle NAB \). Từ đó suy ra \( \triangle NDE \sim \triangle NAB \). Vì vậy, \( \frac{ND}{NA} = \frac{NE}{NB} \). Nhưng \( NA = MB \) và \( NB = ME \) nên \( \frac{ND}{MB} = \frac{NE}{ME} \) hay \( ND \cdot ME = MB \cdot NE \).<br /><br />c) Vì I là giao điểm của MH và AB nên \( \angle MIH = \angle MAB \). Vì AB là đường kính thay đổi của (O) nên \( \angle MAB \) là góc biến đổi. Nhưng \( \angle MIH \) là góc cố định nên I luôn thuộc một đường tròn cố định.