thời điểm mà tốc độ của chất điểm TOII Câu 28: Từ một miếng bia hình vuông có cạnh bằng 12 cm , người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng x(cm) ở bốn góc (Hình 3a) và gấp lại thành một hình hộp không nắp (Hình 3b). Tìm x để thể tích của hình hộp là lơnn nhất.

Để tìm giá trị của \( x \) sao cho thể tích của hình hộp là lớn nhất, ta cần xác định hàm thể tích của hình hộp và sau đó tìm điểm cực đại của hàm này.<br /><br />1. **Xác định hàm thể tích:**<br /><br /> - Miếng bia hình vuông có cạnh bằng 12 cm.<br /> - Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng \( x \) cm ở bốn góc và gấp lại thành hình hộp không nắp, chiều cao của hình hộp sẽ là \( x \) cm.<br /> - Chiều dài và chiều rộng của đáy hình hộp sẽ bằng \( 12 - 2x \) cm (vì đã cắt đi \( x \) cm ở hai đầu mỗi cạnh).<br /><br /> Thể tích \( V \) của hình hộp có thể được biểu diễn bằng công thức:<br /> \[<br /> V = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao}<br /> \]<br /> \[<br /> V = (12 - 2x) \times (12 - 2x) \times x<br /> \]<br /> \[<br /> V = (12 - 2x)^2 \times x<br /> \]<br /> \[<br /> V = x(12 - 2x)^2<br /> \]<br /><br />2. **Tìm điểm cực đại của hàm thể tích:**<br /><br /> Để tìm giá trị của \( x \) sao cho \( V \) đạt cực đại, ta cần tìm đạo hàm của \( V \) theo \( x \) và giải phương trình đạo hàm bằng 0:<br /> \[<br /> V = x(12 - 2x)^2<br /> \]<br /> \[<br /> V = x(144 - 48x + 4x^2)<br /> \]<br /> \[<br /> V = 144x - 48x^2 + 4x^3<br /> \]<br /><br /> Tính đạo hàm \( V' \) của \( V \) theo \( x \):<br /> \[<br /> V' = \frac{d}{dx}(144x - 48x^2 + 4x^3)<br /> \]<br /> \[<br /> V' = 144 - 96x + 12x^2<br /> \]<br /><br /> Đặt \( V' = 0 \) để tìm điểm cực đại:<br /> \[<br /> 144 - 96x + 12x^2 = 0<br /> \]<br /> \[<br /> 12x^2 - 96x + 144 = 0<br /> \]<br /> \[<br /> x^2 - 8x + 12 = 0<br /> \]<br /><br /> Giải phương trình bậc hai này:<br /> \[<br /> x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}<br /> \]<br /> \[<br /> x = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2}<br /> \]<br /> \[<br /> x = \frac{8 \pm 4}{2}<br /> \]<br /> \[<br /> x = 6 \quad \text{hoặc} \quad x = 2<br /> \]<br /><br />3. **Kiểm tra giá trị cực đại:**<br /><br /> Để xác định \( x = 6 \) hay \( x = 2 \) là điểm cực đại, ta kiểm tra đạo hàm bậc hai \( V'' \):<br /> \[<br /> V'' = \frac{d}{dx}(144 - 96x + 12x^2)<br /> \]<br /> \[<br /> V'' = -96 + 24x<br /> \]<br /><br /> - Tại \( x = 2 \):<br /> \[<br /> V''(2) = -96 + 24 \times 2 = -48<br /> \]<br /> Vì \( V''(2) < 0 \), nên \( x = 2 \) không phải cực đại.<br /><br /> - Tại \( x = 6 \):<br /> \[<br /> V''(6) = -96 + 24 \times 6 = 48<br /> \]<br /> Vì \( V''(6) > 0 \), nên \( x = 6 \) là điểm cực đại.<br /><br />Vậy, giá trị của \( x \) để thể tích của hình hộp là lớn nhất là \( x = 6 \) cm.