Câu 3. (3,0 điểm).. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (C không trùng với B). Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm)tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng CD tại E. a) Chứng minh rǎng tử giác AODE nội tiếp. b) Gọi H là giao điểm của AD và OE. K là giao điểm của BE với đường tròn (O) (K không trùng với B). Chứng minh hat (EHK)=hat (KBA) c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CE tại M. Chứng minh (EA)/(EM)-(MO)/(MC)=1

【Trả lời】: a) Tứ giác AODE nội tiếp được chứng minh qua việc $\widehat{EAO}=\widehat{EDO}=90^\circ$, do EA và ED là tiếp tuyến của (O), suy ra $\widehat{EAO} + \widehat{EDO} = 180^\circ$, chứng tỏ AODE nội tiếp. b) Vì EA = ED (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OD (cùng bán kính của (O)), suy ra EO là đường trung trực của AD, do đó $\widehat{EHA}=90^\circ$. Mặt khác, $\widehat{AKB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), nên $\widehat{EKA}=90^\circ$. Từ đó, tứ giác AHKE nội tiếp, suy ra $\widehat{EHK}=\widehat{EAK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung), và $\widehat{EAK}=\widehat{KBA}$ (cùng phụ với $\widehat{KAB}$), vậy $\widehat{EHK}=\widehat{KBA}$. c) Với OM $\perp$ AB và EA $\perp$ AB, suy ra OM // EA. Do đó, $\widehat{MEO}=\widehat{AEO}$ (góc so le trong) và $\widehat{MOE}=\widehat{AEO}$, suy ra tam giác MEO cân tại M, do đó ME = MO. Áp dụng định lý Ta-lét cho tam giác CAE với OM // EA, ta có $\frac{OM}{AE}=\frac{MC}{CE}$, suy ra $\frac{EA}{EM}=\frac{CE}{MC}$. Từ đó, $\frac{EA}{EM}=\frac{MC+EM}{MC}=1+\frac{EM}{MC}$, suy ra $\frac{EA}{EM}-\frac{MO}{MC}=1$. <br/>【Phân tích】: 1. Đầu tiên, chứng minh tứ giác AODE nội tiếp thông qua việc chứng minh hai góc đối bằng 90 độ, dựa trên tính chất tiếp tuyến của đường tròn. 2. Tiếp theo, sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất đường trung trực để chứng minh EO là đường trung trực của AD, từ đó suy ra các góc và chứng minh tứ giác AHKE nội tiếp. 3. Cuối cùng, áp dụng định lý Ta-lét và tính chất của tam giác cân để chứng minh mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong phần c) của bài toán.