Câu 3. Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'D' và C'D' . Tích vô hướng overrightarrow (MN)cdot overrightarrow (CB')=na^2 (n là số thập phân). Giá trị của n bằng bao nhiêu?

Ta có $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD'} + \overrightarrow{D'N} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A'D'} + \frac{1}{2}\overrightarrow{D'C'} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A'D'} + \overrightarrow{D'C'}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'}$.<br /><br />$\overrightarrow{CB'} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'}$.<br /><br />Trong hệ tọa độ Oxyz, với O trùng A, $\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)$, $\overrightarrow{AD} = (0, a, 0)$, $\overrightarrow{AA'} = (0, 0, a)$.<br /><br />Vậy $\overrightarrow{A'C'} = (a, a, 0)$, $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(a, a, 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.<br /><br />$\overrightarrow{CB'} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB'} = (-a, -a, 0) + (a, 0, a) = (0, -a, a)$.<br /><br />$\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{CB'} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0) \cdot (0, -a, a) = \frac{a}{2}(-a) = -\frac{a^2}{2}$.<br /><br />Vậy $n = -\frac{1}{2}$.<br /><br />Đáp án đúng là $n = -\frac{1}{2}$.<br />