Câu 11. Chứng minh rằng: a) log_(a)(x+sqrt (x^2-1))+log_(a)(x-sqrt (x^2-1))=0 b) ln(1+e^2x)=2x+ln(1+e^-2x)

Chúng ta sẽ chứng minh từng phần một.<br /><br />### Phần a)<br />Chúng ta cần chứng minh:<br />\[ \log_a(x + \sqrt{x^2 - 1}) + \log_a(x - \sqrt{x^2 - 1}) = 0 \]<br /><br />Sử dụng tính chất của logarit:<br />\[ \log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N) \]<br /><br />Áp dụng vào biểu thức đã cho:<br />\[ \log_a(x + \sqrt{x^2 - 1}) + \log_a(x - \sqrt{x^2 - 1}) = \log_a[(x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1})] \]<br /><br />Tiếp theo, ta tính tích trong dấu ngoặc:<br />\[ (x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1}) = x^2 - (\sqrt{x^2 - 1})^2 \]<br />\[ = x^2 - (x^2 - 1) \]<br />\[ = x^2 - x^2 + 1 \]<br />\[ = 1 \]<br /><br />Vậy:<br />\[ \log_a(1) = 0 \]<br /><br />Do đó, biểu thức đã cho đúng.<br /><br />### Phần b)<br />Chúng ta cần chứng minh:<br />\[ \ln(1 + e^{2x}) = 2x + \ln(1 + e^{-2x}) \]<br /><br />Để chứng minh điều này, ta sử dụng phương pháp đặt và biến đổi.<br /><br />Bắt đầu bằng việc đặt:<br />\[ y = \ln(1 + e^{2x}) \]<br /><br />Ta biết rằng:<br />\[ \ln(1 + e^{2x}) = \ln(e^{2x} + 1) \]<br /><br />Sử dụng tính chất của logarit:<br />\[ \ln(e^{2x} + 1) = \ln(e^{2x}) + \ln(1 + e^{-2x}) \]<br />\[ = 2x + \ln(1 + e^{-2x}) \]<br /><br />Như vậy, ta có:<br />\[ \ln(1 + e^{2x}) = 2x + \ln(1 + e^{-2x}) \]<br /><br />Biểu thức đã cho đúng.<br /><br />Kết luận: Cả hai phần a) và b) đều đã được chứng minh đúng.