Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O(ABlt AC) Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D.. E là trung điểm đoạn AD. EC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng: 1) Tứ giác OEBM nội tiêp. 2) MB^2=MAcdot MD 3) hat (BFC)=hat (MOC) 4) BF//AM

<p>Câu 4.</p><p>1) Ta có $\mathrm{EA}=\mathrm{ED}(\mathrm{gt}) \Rightarrow \mathrm{OE} \perp \mathrm{AD}$ ( Quan hệ giữa đường kính và daày) $\Rightarrow \widehat{O \mathrm{E} M}=90^{\circ} ; \widehat{O B M}=90^{\circ}$ (Tính chất tiếp tuyến) $\mathrm{E}$ và $\mathrm{B}$ cùng nhìn $\mathrm{OM}$ dưới một góc vuông $\Rightarrow$ Tứ giác OEBM nội tiếps</p><p>2) Ta có $\widehat{M B D}=\frac{1}{2}$ sđ $\widehat{B D}$ ( góc nội tiếp chẳn cung $B D$ ) $\widehat{\mathrm{IAB}}=\frac{1}{2} \mathrm{sđ} \widehat{\mathrm{BD}}$ ( góc tạo bời tia tiếp tuyến và dây cung chẳn cung $\mathrm{BD}$ ) $\Rightarrow \widehat{\mathbb{M B D}}=\widehat{\mathbb{M} \mathrm{AB}}$. Xét tam giác MBD và tam giác $\mathrm{MAB}$ có:</p><p>Góc $M$ chung, $\widehat{M B D}=\widehat{M A B} \Rightarrow \Delta M B D$ dồng dạng với $\triangle M A B \Rightarrow \frac{M B}{M A}=\frac{M D}{M B}$ $\Rightarrow \mathrm{MB}^2=\mathrm{MA} \cdot \mathrm{MD}$</p><p>3) Ta có: $\widehat{\mathrm{MOC}}=\frac{1}{2} \widehat{\mathrm{BOC}}=\frac{1}{2} \mathrm{sđ} \widehat{\mathrm{BC}}$ ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); $\widehat{\mathrm{BFC}}=\frac{1}{2} \mathrm{~s} \widehat{a}$ $\widehat{B C}$ (góc nội tiếp) $\Rightarrow \widehat{B F C}=\widehat{M O C}$.</p><p>4) Tứ giác MFOC nội tiếp $\left(\hat{F}+\hat{C}=180^{\circ}\right) \Rightarrow \widehat{M F C}=\widehat{M O C}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\mathrm{MC}$ ), mặt khác $\widehat{M O C}=\widehat{\mathrm{BFC}}$ (theo câu 3 ) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{BFC}}=\widehat{\mathrm{FCC}} \Rightarrow \mathrm{BF} / / \mathrm{AM}$.</p><p><img src="https://static.questionai.vn/resource/qaiseoimg/202501/-t3Z8VYUUEs0t.jpg" alt="("></p>