Tranh luận về tích phân của hàm \( (\tan x+1)^{2} \) từ 0 đến \( \frac{\pi}{4} \)

Tích phân là một khái niệm quan trọng trong toán học, và nó có nhiều ứng dụng trong thực tế. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tích phân của hàm \( (\tan x+1)^{2} \) từ 0 đến \( \frac{\pi}{4} \) và tranh luận về giá trị của nó. Đầu tiên, chúng ta cần hiểu rõ về hàm \( (\tan x+1)^{2} \). Hàm này là một hàm lượng giác và nó có dạng \( \tan^{2}x+2\tan x+1 \). Để tính tích phân của hàm này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân bằng phép thay đổi biến số. Đặt \( u = \tan x \), ta có \( du = \sec^{2}x \, dx \). Thay thế vào tích phân ban đầu, ta được: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\tan x+1)^{2} \, dx = \int_{0}^{1}(u+1)^{2} \, du \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân này bằng cách mở ngoặc và tính các phần tử riêng lẻ. Ta có: \[ \int_{0}^{1}(u+1)^{2} \, du = \int_{0}^{1}(u^{2}+2u+1) \, du \] Tính tích phân của từng phần tử, ta có: \[ \int_{0}^{1}u^{2} \, du = \frac{u^{3}}{3} \bigg|_{0}^{1} = \frac{1}{3} \] \[ \int_{0}^{1}2u \, du = u^{2} \bigg|_{0}^{1} = 1 \] \[ \int_{0}^{1}1 \, du = u \bigg|_{0}^{1} = 1 \] Tổng hợp lại, ta có: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\tan x+1)^{2} \, dx = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3} \] Vậy, giá trị của tích phân của hàm \( (\tan x+1)^{2} \) từ 0 đến \( \frac{\pi}{4} \) là \( \frac{7}{3} \). Trong bài viết này, chúng ta đã tranh luận về tích phân của hàm \( (\tan x+1)^{2} \) từ 0 đến \( \frac{\pi}{4} \) và tính được giá trị của nó là \( \frac{7}{3} \). Tích phân là một công cụ quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong thực tế.