Giới hạn của một dãy số

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về giới hạn của một dãy số cụ thể. Yêu cầu của chúng ta là tính giới hạn của dãy số \( \frac{n^{n}\left(4^{n+1}\right)}{4^{n}(n+1)} \) khi n tiến tới vô cùng. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách phân tích biểu thức trong dãy số. Biểu thức này có dạng \( \frac{n^{n}\left(4^{n+1}\right)}{4^{n}(n+1)} \). Để đơn giản hóa, chúng ta có thể viết lại biểu thức này thành \( \frac{n^{n} \cdot 4^{n+1}}{4^{n} \cdot (n+1)} \). Tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc biến đổi giới hạn để tìm giá trị của dãy số khi n tiến tới vô cùng. Quy tắc này cho phép chúng ta thay thế n bằng vô cùng trong biểu thức. Khi thực hiện phép biến đổi này, chúng ta nhận được biểu thức mới là \( \frac{\infty^{\infty} \cdot 4^{\infty+1}}{4^{\infty} \cdot (\infty+1)} \). Tuy nhiên, giới hạn của biểu thức này không thể được xác định một cách chính xác. Điều này là do giới hạn của dãy số phụ thuộc vào giá trị của n và không thể xác định khi n tiến tới vô cùng. Do đó, chúng ta không thể đưa ra một giá trị cụ thể cho giới hạn của dãy số này. Tuy nhiên, chúng ta có thể nhận thấy rằng giới hạn của dãy số này sẽ tăng lên không giới hạn khi n tiến tới vô cùng. Điều này có thể được giải thích bằng cách xem xét các thành phần trong biểu thức. Khi n tiến tới vô cùng, phần tử \( n^{n} \) sẽ tăng lên nhanh chóng và phần tử \( 4^{n+1} \) cũng sẽ tăng lên không giới hạn. Trong khi đó, phần tử \( 4^{n} \) và \( (n+1) \) không tăng lên nhanh chóng như vậy. Do đó, tỷ lệ giữa các phần tử này sẽ tăng lên không giới hạn, dẫn đến giới hạn của dãy số cũng tăng lên không giới hạn. Tóm lại, giới hạn của dãy số \( \frac{n^{n}\left(4^{n+1}\right)}{4^{n}(n+1)} \) khi n tiến tới vô cùng không thể xác định một cách chính xác, nhưng nó tăng lên không giới hạn.