Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc vào biến

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh rằng hai biểu thức sau đây không phụ thuộc vào biến x: a) \( \frac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)(ay-ax)} \) b) \( \frac{2ax-2x-3y+3ay}{4ax+6x+6y+6ay} \) Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng một số phép biến đổi đơn giản và tính chất của các biểu thức đại số. Bắt đầu với biểu thức a), ta có: \( \frac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)(ay-ax)} \) Chúng ta có thể thấy rằng biểu thức trên có thể được rút gọn bằng cách sử dụng công thức khai triển khác nhau: \( x^{2}-y^{2} = (x+y)(x-y) \) Vì vậy, ta có thể viết lại biểu thức a) như sau: \( \frac{(x+y)(x-y)}{(x+y)(ay-ax)} \) Chúng ta có thể loại bỏ các thành phần chung trong tử số và mẫu số: \( \frac{x-y}{ay-ax} \) Tiếp theo, chúng ta có thể rút gọn biểu thức bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho x: \( \frac{\frac{x-y}{x}}{\frac{ay-ax}{x}} \) \( \frac{\frac{x}{x}-\frac{y}{x}}{\frac{ay}{x}-\frac{ax}{x}} \) \( \frac{1-\frac{y}{x}}{a-\frac{a}{x}} \) Chúng ta có thể thấy rằng biểu thức trên không phụ thuộc vào biến x, vì x xuất hiện trong cả tử số và mẫu số và sẽ bị loại bỏ khi chúng ta rút gọn. Tương tự, chúng ta có thể chứng minh rằng biểu thức b) cũng không phụ thuộc vào biến x bằng cách sử dụng các phép biến đổi tương tự. Từ những chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng cả hai biểu thức không phụ thuộc vào biến x. Trên đây là cách chúng ta có thể chứng minh rằng các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x. Việc sử dụng các phép biến đổi đơn giản và tính chất của các biểu thức đại số giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của các biểu thức và cách chúng tương tác với nhau.