Làm Sao Để Tính Góc Giữa Hai Mặt Phẳng Trong Không Gian?

Trong không gian ba chiều, việc xác định góc giữa hai mặt phẳng là một kỹ năng quan trọng trong hình học giải tích. Hiểu rõ cách tính góc này giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của các mặt phẳng, tính toán thể tích khối đa diện, và nhiều ứng dụng khác trong toán học và các lĩnh vực liên quan. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể.

<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Phương pháp Tính Góc Giữa Hai Mặt Phẳng</h2>

Để tính góc giữa hai mặt phẳng, chúng ta cần sử dụng kiến thức về véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng. Véc tơ pháp tuyến của một mặt phẳng là véc tơ vuông góc với mọi véc tơ nằm trên mặt phẳng đó. Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa hai véc tơ pháp tuyến của chúng.

<strong style="font-weight: bold;">Bước 1: Xác định véc tơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng.</strong>

* Nếu phương trình mặt phẳng được cho dưới dạng tổng quát: $ax + by + cz + d = 0$, thì véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow{n} = (a, b, c)$.

* Nếu phương trình mặt phẳng được cho dưới dạng tham số: $\begin{cases} x = x_0 + at + bs \\ y = y_0 + ct + ds \\ z = z_0 + et + fs \end{cases}$, thì véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow{n} = (c, d, e) \times (a, b, f)$.

<strong style="font-weight: bold;">Bước 2: Tính tích vô hướng của hai véc tơ pháp tuyến.</strong>

Gọi $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng. Tích vô hướng của hai véc tơ này được tính theo công thức:

$\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = |\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}| \cos \alpha$

Trong đó, $\alpha$ là góc giữa hai véc tơ pháp tuyến.

<strong style="font-weight: bold;">Bước 3: Tính góc giữa hai mặt phẳng.</strong>

Từ công thức trên, ta có:

$\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|}$

Góc giữa hai mặt phẳng là $\alpha = \arccos \left( \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} \right)$.

<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Ví dụ Minh Họa</h2>

<strong style="font-weight: bold;">Bài toán:</strong> Cho hai mặt phẳng $(\alpha): 2x - y + 3z - 1 = 0$ và $(\beta): x + 2y - z + 2 = 0$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$.

<strong style="font-weight: bold;">Giải:</strong>

* Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n_1} = (2, -1, 3)$.

* Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\beta)$ là $\overrightarrow{n_2} = (1, 2, -1)$.

Tích vô hướng của hai véc tơ pháp tuyến là:

$\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (2, -1, 3) \cdot (1, 2, -1) = 2 - 2 - 3 = -3$

Độ dài của hai véc tơ pháp tuyến là:

$|\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{14}$

$|\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$

Góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ là:

$\alpha = \arccos \left( \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| |\overrightarrow{n_2}|} \right) = \arccos \left( \frac{-3}{\sqrt{14} \sqrt{6}} \right) \approx 109.47^\circ$

<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Kết Luận</h2>

Bài viết đã giới thiệu phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian, cùng với ví dụ minh họa cụ thể. Việc hiểu rõ cách tính góc này giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của các mặt phẳng, tính toán thể tích khối đa diện, và nhiều ứng dụng khác trong toán học và các lĩnh vực liên quan.