Tính tích phân của các hàm căn

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm cách tính các tích phân của các hàm căn theo yêu cầu. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc tính tích phân \( I=\int_{0}^{\sqrt{8}} \sqrt{16-x^{2}} \mathrm{~d} x \). Để tính tích phân này, chúng ta có thể sử dụng phép đổi biến số. Đặt \( x=4\sin(\theta) \), ta có \( dx=4\cos(\theta) d\theta \). Khi \( x=0 \), ta có \( \theta=0 \), và khi \( x=\sqrt{8} \), ta có \( \theta=\frac{\pi}{6} \). Thay thế vào tích phân ban đầu, ta có: \[ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{16-(4\sin(\theta))^{2}} \cdot 4\cos(\theta) \mathrm{~d} \theta \] Simplifying the integrand, we have: \[ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{16-16\sin^{2}(\theta)} \cdot 4\cos(\theta) \mathrm{~d} \theta \] \[ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{16(1-\sin^{2}(\theta))} \cdot 4\cos(\theta) \mathrm{~d} \theta \] \[ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{16\cos^{2}(\theta)} \cdot 4\cos(\theta) \mathrm{~d} \theta \] \[ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 4\cos^{2}(\theta) \cdot 4\cos(\theta) \mathrm{~d} \theta \] \[ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 16\cos^{3}(\theta) \mathrm{~d} \theta \] Để tính tích phân này, chúng ta có thể sử dụng công thức tích phân của hàm lũy thừa. Áp dụng công thức, ta có: \[ I=\frac{16}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^{3}(\theta) \mathrm{~d} \theta \] \[ I=4 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^{3}(\theta) \mathrm{~d} \theta \] Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng công thức tích phân bằng phép đổi biến số. Đặt \( u=\sin(\theta) \), ta có \( du=\cos(\theta) d\theta \). Khi \( \theta=0 \), ta có \( u=0 \), và khi \( \theta=\frac{\pi}{6} \), ta có \( u=\frac{1}{2} \). Thay thế vào tích phân trên, ta có: \[ I=4 \int_{0}^{\frac{1}{2}} (1-u^{2}) \mathrm{~d} u \] \[ I=4 \left[ u-\frac{u^{3}}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} \] \[ I=4 \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{24} \right) \] \[ I=4 \cdot \frac{11}{24} \] \[ I=\frac{11}{6} \] Vậy, giá trị của tích phân \( I=\int_{0}^{\sqrt{8}} \sqrt{16-x^{2}} \mathrm{~d} x \) là \( \frac{11}{6} \). Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân \( I=\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{4-x^{2}}} d x \). Để tính tích phân này, chúng ta có thể sử dụng phép đổi biến số. Đặt \( x=2\sin(\theta) \), ta có \( dx=2\cos(\theta) d\theta \). Khi \( x=1 \), ta có \( \theta=\frac{\pi}{6} \), và khi \( x=\sqrt{3} \), ta có \( \theta=\frac{\pi}{3} \). Thay thế vào tích phân ban đầu, ta có: \[ I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{(2\sin(\theta))^{2} \sqrt{4-(2\sin(\theta))^{2}}} \cdot 2\cos(\theta) \mathrm{~d} \theta \] Simplifying the integrand, we have: \[ I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{4\sin^{2}(\theta) \sqrt{4-4\sin^{2}(\theta)}} \cdot 2\cos(\theta) \mathrm{~d} \theta \] \[ I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{4\sin^{2}(\theta) \sqrt{4\cos^{2}(\theta)}} \cdot 2\cos(\theta) \mathrm{~d} \theta \] \[ I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{4\sin^{2}(\theta) \cdot 2\cos(\theta)} \cdot 2\cos(\theta) \mathrm{~d} \theta \] \[ I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{4\sin^{2}(\theta)} \mathrm{~d} \theta \] Để tính tích phân này, chúng ta có thể sử dụng công thức tích phân của hàm lũy thừa. Áp dụng công thức, ta có: \[ I=\frac{1}{4} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \csc^{2}(\theta) \mathrm{~d} \theta \] \[ I=\frac{1}{4} \left[ -\cot(\theta) \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \] \[ I=\frac{1}{4} \left( -\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) \right) \] \[ I=\frac{1}{4} \left( -\sqrt{3} + \sqrt{3} \right) \] \[ I=0 \] Vậy, giá trị của tích phân \( I=\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{4-x^{2}}} d x \) là 0. Chúng ta đã tìm cách tính các tích phân của các hàm căn theo yêu cầu.