Tranh luận về giới hạn của hàm số trong bài toán số học

Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận về một bài toán số học liên quan đến giới hạn của một hàm số. Bài toán được đưa ra như sau: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}-1-x}{\ln (1+\sin x)-x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{\sin x}-1-x\right.}{[\ln (1+\sin x)} \) Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm giới hạn của hàm số khi x tiến đến 0. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét phần tử tử số \(e^{\sin x}-1-x\) và mẫu số \(\ln (1+\sin x)-x\) riêng lẻ. Bắt đầu với phần tử tử số, ta có \(e^{\sin x}-1-x\). Để tính giới hạn của biểu thức này khi x tiến đến 0, chúng ta có thể sử dụng công thức Taylor để xấp xỉ hàm số \(e^{\sin x}\) tại x = 0. Theo công thức Taylor, ta có: \(e^{\sin x} = 1 + \sin x + \frac{(\sin x)^2}{2!} + \frac{(\sin x)^3}{3!} + \ldots\) Khi x tiến đến 0, các thành phần bậc cao hơn sẽ tiến dần về 0, do đó ta có thể xấp xỉ \(e^{\sin x}\) bằng 1 + \(\sin x\). Vì vậy, phần tử tử số có thể được xấp xỉ bằng \(\sin x - x\). Tiếp theo, chúng ta xem xét mẫu số \(\ln (1+\sin x)-x\). Khi x tiến đến 0, ta có thể xấp xỉ \(\ln (1+\sin x)\) bằng \(\sin x\). Vì vậy, mẫu số có thể được xấp xỉ bằng \(\sin x - x\). Kết hợp lại, ta có: \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}-1-x}{\ln (1+\sin x)-x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x - x}{\sin x - x} = 1\) Vậy, giới hạn của hàm số khi x tiến đến 0 là 1. Trên đây là quá trình giải quyết bài toán số học liên quan đến giới hạn của một hàm số. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính giới hạn và áp dụng công thức Taylor trong các bài toán tương tự.