Chứng minh rằng ma trận A thỏa mãn phương trình A^3 - 4A^2 - 15A = 15I3

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh rằng ma trận A = [[0, 2, 1], [3, 4, 2], [-1, 5, 0]] thỏa mãn phương trình A^3 - 4A^2 - 15A = 15I3. Để làm điều này, chúng ta sẽ đi qua một số bước logic và tính toán. Đầu tiên, chúng ta sẽ tính toán A^3. Bằng cách nhân ma trận A với chính nó hai lần, ta có: A^2 = A * A = [[0, 2, 1], [3, 4, 2], [-1, 5, 0]] * [[0, 2, 1], [3, 4, 2], [-1, 5, 0]] = [[-1, 12, 2], [9, 26, 11], [14, 23, 5]] Tiếp theo, ta nhân ma trận A với A^2: A^3 = A * A^2 = [[0, 2, 1], [3, 4, 2], [-1, 5, 0]] * [[-1, 12, 2], [9, 26, 11], [14, 23, 5]] = [[23, 62, 15], [36, 98, 27], [8, 37, 10]] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính toán phần còn lại của phương trình: -4A^2 - 15A. Bằng cách nhân ma trận A^2 với -4 và ma trận A với -15, ta có: -4A^2 = -4 * [[-1, 12, 2], [9, 26, 11], [14, 23, 5]] = [[4, -48, -8], [-36, -104, -44], [-56, -92, -20]] -15A = -15 * [[0, 2, 1], [3, 4, 2], [-1, 5, 0]] = [[0, -30, -15], [-45, -60, -30], [15, -75, 0]] Cuối cùng, chúng ta sẽ tính toán 15I3. Bằng cách nhân 15 với ma trận đơn vị I3, ta có: 15I3 = 15 * [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] = [[15, 0, 0], [0, 15, 0], [0, 0, 15]] Bây giờ, chúng ta có tất cả các thành phần của phương trình A^3 - 4A^2 - 15A = 15I3. Chúng ta chỉ cần so sánh từng phần tử của hai ma trận để kiểm tra xem phương trình có đúng hay không. So sánh từng phần tử, ta có: 23 = 15 62 = 0 15 = 0 36 = 0 98 = 15 27 = 0 8 = 0 37 = 0 10 = 15 Từ các so sánh trên, ta thấy rằng các phần tử của hai ma trận không bằng nhau. Do đó, ma trận A không thỏa mãn phương trình A^3 - 4A^2 - 15A = 15I3. Trong bài viết này, chúng ta đã chứng minh rằng ma trận A = [[0, 2, 1], [3, 4, 2], [-1, 5, 0]] không thỏa mãn phương trình A^3 - 4A^2 - 15A = 15I3.