Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \(3MA^2 + MB^2\) với điểm \(M\) tùy ý trên đoạn \(AB = 4a\)

Trong bài toán này, chúng ta được yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \(3MA^2 + MB^2\) với điểm \(M\) tùy ý trên đoạn \(AB = 4a\). Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng một số kiến thức về hình học và đại số. Đầu tiên, chúng ta cần xác định vị trí của điểm \(M\) trên đoạn \(AB\). Vì \(M\) là một điểm tùy ý, ta có thể giả sử \(M\) có tọa độ \(x\) trên trục \(Ox\). Khi đó, tọa độ của \(A\) và \(B\) lần lượt là \(-2a\) và \(2a\). Tiếp theo, chúng ta cần tính giá trị của \(MA\) và \(MB\). Với \(M\) có tọa độ \(x\), ta có: \(MA = |x - (-2a)| = |x + 2a|\) \(MB = |x - 2a|\) Sau đó, chúng ta có thể tính tổng \(3MA^2 + MB^2\): \(3MA^2 + MB^2 = 3(x + 2a)^2 + (x - 2a)^2\) Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Bằng cách đạo hàm theo \(x\) và giải phương trình đạo hàm bằng 0, ta có thể tìm được giá trị \(x\) tương ứng với giá trị nhỏ nhất của tổng. Sau khi tìm được giá trị \(x\), ta có thể tính lại giá trị của \(MA\) và \(MB\) và thay vào tổng để tìm giá trị nhỏ nhất. Tóm lại, để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \(3MA^2 + MB^2\) với điểm \(M\) tùy ý trên đoạn \(AB = 4a\), chúng ta cần xác định vị trí của \(M\) trên đoạn, tính giá trị của \(MA\) và \(MB\), và sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị \(x\) tương ứng với giá trị nhỏ nhất của tổng.