Phân tích và giải quyết bài toán về biến đổi tuyến tính trong không gian hai chiều

Bài viết này sẽ tập trung vào việc giải quyết một bài toán về biến đổi tuyến tính trong không gian hai chiều, được cho bởi hàm \( f(x, y) = (5x - 2y, -2x + 8y) \). Chúng ta sẽ đi sâu vào từng phần của bài toán để tìm hiểu về ma trận biểu diễn, giá trị riêng và véc tơ riêng, cũng như ma trận biểu diễn trong cơ sở véc tơ riêng và ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở véc tơ riêng. a. Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm ma trận biểu diễn \( A \) của hàm \( f \) trong cơ sở chính tắc \( E \) của không gian hai chiều. Bằng cách áp dụng công thức biểu diễn, chúng ta có thể tính toán giá trị của ma trận \( A \). b. Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của hàm \( f \). Bằng cách giải phương trình đặc trưng \( Av = \lambda v \), chúng ta có thể tìm ra các giá trị riêng và véc tơ riêng tương ứng. c. Sau đó, chúng ta sẽ viết ma trận biểu diễn của hàm \( f \) trong cơ sở véc tơ riêng. Bằng cách sử dụng các giá trị riêng và véc tơ riêng đã tìm được ở phần trước, chúng ta có thể xác định ma trận \( A' \) trong cơ sở véc tơ riêng. d. Cuối cùng, chúng ta sẽ viết ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc \( E \) sang cơ sở véc tơ riêng. Ma trận này sẽ giúp chúng ta biết liệu ma trận \( A \) có dạng ma trận đường chéo hay không. Qua bài viết này, chúng ta đã thực hiện phân tích và giải quyết một bài toán về biến đổi tuyến tính trong không gian hai chiều. Bằng cách tìm hiểu về ma trận biểu diễn, giá trị riêng và véc tơ riêng, cũng như ma trận biểu diễn trong cơ sở véc tơ riêng và ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở véc tơ riêng, chúng ta có thể hiểu rõ hơn về tính chất của biến đổi tuyến tính trong không gian hai chiều.