Khai triển Taylor của hàm số \( f(x)=\sqrt{2 x-5} \) tại điểm \( x_{0}=7 \) dến số hạng chứa \( (x-7)^{2} \) với phần dư Peano

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về khai triển Taylor của hàm số \( f(x)=\sqrt{2 x-5} \) tại điểm \( x_{0}=7 \) dến số hạng chứa \( (x-7)^{2} \) với phần dư Peano. Đây là một phương pháp quan trọng trong tính toán và phân tích hàm số. Đầu tiên, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \). Áp dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai, ta có: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x-5}} \] Tiếp theo, chúng ta cần tính giá trị của hàm số và đạo hàm tại điểm \( x_{0}=7 \). Thay \( x \) bằng \( 7 \) vào công thức, ta có: \[ f(7) = \sqrt{2(7)-5} = \sqrt{9} = 3 \] \[ f'(7) = \frac{1}{2\sqrt{2(7)-5}} = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{6} \] Bây giờ, chúng ta có thể bắt đầu khai triển Taylor của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x_{0}=7 \). Công thức khai triển Taylor cho hàm số \( f(x) \) là: \[ f(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2} + \ldots \] Trong trường hợp này, chúng ta chỉ quan tâm đến số hạng chứa \( (x-7)^{2} \). Vì vậy, ta chỉ cần tính giá trị của \( f''(x_{0}) \). Đạo hàm lần hai của hàm số \( f(x) \) là: \[ f''(x) = -\frac{1}{4(2x-5)^{\frac{3}{2}}} \] Thay \( x \) bằng \( 7 \), ta có: \[ f''(7) = -\frac{1}{4(2(7)-5)^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{4(9)^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{36} \] Tiếp theo, ta thay các giá trị đã tính được vào công thức khai triển Taylor: \[ f(x) = f(7) + f'(7)(x-7) + \frac{f''(7)}{2!}(x-7)^{2} + \ldots \] \[ f(x) = 3 + \frac{1}{6}(x-7) - \frac{1}{72}(x-7)^{2} + \ldots \] Cuối cùng, chúng ta cần xác định phần dư Peano. Phần dư Peano là phần còn lại sau khi ta đã lấy một số hạng chứa \( (x-7)^{2} \) trong khai triển Taylor. Để tính phần dư Peano, ta sử dụng công thức sau: \[ R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} \] Trong trường hợp này, \( n = 2 \) và \( c \) là một điểm nằm giữa \( x \) và \( x_{0} \). Vì chúng ta chỉ quan tâm đến số hạng chứa \( (x-